设f（x）在[0，1]上连续，且0≤f（x）≤1，证明：至少存在一点ξ∈[0，1]，使得f（ξ）=ξ．
2019-04-22
设f（x）在[0，1]上连续，且0≤f（x）≤1，证明：至少存在一点ξ∈[0，1]，使得f（ξ）=ξ．
优质解答
①如果f（0）=0，则取ξ=0即可．
②如果f（1）=1，则取ξ=1即可．
③如果f（0）≠0，且f（1）≠1，
故由0≤f（x）≤1可得，
f（0）＞0，f（1）＜1．
令g（x）=f（x）-x，
则g（x）在[0，1]上连续，且g（0）＞0，g（1）＜0．
故由连续函数的零点存在定理可得，
至少存在一点ξ∈[0，1]，使得g（ξ）=0，
即：f（ξ）=ξ．
①如果f（0）=0，则取ξ=0即可．
②如果f（1）=1，则取ξ=1即可．
③如果f（0）≠0，且f（1）≠1，
故由0≤f（x）≤1可得，
f（0）＞0，f（1）＜1．
令g（x）=f（x）-x，
则g（x）在[0，1]上连续，且g（0）＞0，g（1）＜0．
故由连续函数的零点存在定理可得，
至少存在一点ξ∈[0，1]，使得g（ξ）=0，
即：f（ξ）=ξ．