一道高等数学常微分应用题,设P(x,y)是连接A(1,0)和B(0,1)两点的一条向上凸曲线上的任意一点,已知曲线与弦AP之间的面积为x^3,求此曲线的方程.
2019-04-14
一道高等数学常微分应用题,
设P(x,y)是连接A(1,0)和B(0,1)两点的一条向上凸曲线上的任意一点,已知曲线与弦AP之间的面积为x^3,求此曲线的方程.
优质解答
“曲线与弦AP之间的面积为x^3”这个是关键
因为曲线向上凸,所以x^3=S曲线aop-S三角形ap
所以 ∫（x,1）f(x)dx-(1-x)f(x)/2=x^3
两边对x求导有,-f(x)-f'(x)/2+f(x)/2+xf'(x)/2=3x^2
再解出微分方程,且f（0）=1即可
“曲线与弦AP之间的面积为x^3”这个是关键
因为曲线向上凸,所以x^3=S曲线aop-S三角形ap
所以 ∫（x,1）f(x)dx-(1-x)f(x)/2=x^3
两边对x求导有,-f(x)-f'(x)/2+f(x)/2+xf'(x)/2=3x^2
再解出微分方程,且f（0）=1即可