运用拉格朗日+柯西中值定理
即证
f'(c)=[f'(d)/(1/d)][lnb-lna]/(b-a)
对f(x)在[a,b]上运用拉格朗日中值定理
存在c∈(a,b)使得
f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a).(1)
又[f(b)-f(a)]/(b-a)={[f(b)-f(a)]/(lnb-lna)}[lnb-lna]/(b-a)
由柯西中值定理
存在d∈(a,b)使得
f'(d)/(1/d)=[f(b)-f(a)]/(lnb-lna).(2)
综合(1),(2)有f'(c)/f'(d)=d*(lnb-lna)/(b-a)证毕. 运用拉格朗日+柯西中值定理
即证
f'(c)=[f'(d)/(1/d)][lnb-lna]/(b-a)
对f(x)在[a,b]上运用拉格朗日中值定理
存在c∈(a,b)使得
f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a).(1)
又[f(b)-f(a)]/(b-a)={[f(b)-f(a)]/(lnb-lna)}[lnb-lna]/(b-a)
由柯西中值定理
存在d∈(a,b)使得
f'(d)/(1/d)=[f(b)-f(a)]/(lnb-lna).(2)
综合(1),(2)有f'(c)/f'(d)=d*(lnb-lna)/(b-a)证毕.