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高等数学极限我对于函数极限的形式定义(δε语言)不是十分理解,希望各位可以帮帮忙,我也尽量解释清楚,谢谢.1.原来学的函数极限定义(趋向于有限值)是当x无限趋向于c时,若f(x)无限趋向于L,那么limf(x)(x->c)=L.形式定义则是:对于任意ε>0,总存在δ>0,当0</x-c/<δ时,/f(x)-L/<ε,那么limf(x)(x->c)=L.也就是f(x)可以无限趋向于L,即ε无限小;可是形式并没有规定x趋向于c,因为定义只说存在δ,而并没有说δ随着ε变小呀?形式定义是不是不完全呢?举个例子,给

2019-05-29

高等数学极限
我对于函数极限的形式定义(δε语言)不是十分理解,希望各位可以帮帮忙,我也尽量解释清楚,谢谢.
1.原来学的函数极限定义(趋向于有限值)是当x无限趋向于c时,若f(x)无限趋向于L,那么limf(x)(x->c)=L.形式定义则是:对于任意ε>0,总存在δ>0,当0</x-c/<δ时,/f(x)-L/<ε,那么limf(x)(x->c)=L.也就是f(x)可以无限趋向于L,即ε无限小;可是形式并没有规定x趋向于c,因为定义只说存在δ,而并没有说δ随着ε变小呀?形式定义是不是不完全呢?举个例子,给定一个ε,去一个很小的δ,满足那些条件;再取一个较小的ε,由于上一个δ很小,这一个δ可以取的稍大一些,同样也可以满足那些条件.这样一来f(x)趋向于L了,但x却远离c了,和原来的定义矛盾了.我是想问形式定义中哪里体现了x趋向c这个概念的.
2.在一些用形式定义证明极限的题中,答案总是给为"=min{,}",我不太明白为什么要去其中一个最小的值?
例:证lim(x^2-9)(x->3)=0
取δ=1,解得δ=min{1,ε/7}
为什么要去最小的呢?这个答案是当δ=1时的,当δ为其他值或者ε为任意实数时这个答案都成立么,为什么?
我数学不是很好,谢谢大家了.
优质解答
1.对于极限来说,就引用你说的:
举个例子,给定一个ε,去一个很小的δ,满足那些条件;再取一个较小的ε,由于上一个δ很小,这一个δ可以取的稍大一些,同样也可以满足那些条件.这样一来f(x)趋向于L了,但x却远离c了
最后一句不对,x并没有远离c,而是x的取值范围宽了,是这个范围内的所有x都满足,当然小范围的也满足,也就是说δ可以取的稍大一些都满足了,取小一点也就满足了
对于无限小的一个ε,只要存在δ,0</x-c/<δ时满足,那么对于所有0举个特例f(x)=3显然有limf(x)(x->c)=3
不管ε取多大,δ取任意正值都满足,当然δ取很小的时候也应该满足
2.取δ=1只是一个假设,用来做验证的,看δ=1满不满足,还需什么条件
在取δ=1以后,就是先假定0</x-3/<1时成立,然后进行推导发现,除了要满足0</x-3/<1以外,还必须满足0</x-3/<ε/7就可以做到/f(x)-L/<ε
即0</x-3/<min{1,ε/7}时就是δ=min{1,ε/7}时/f(x)-L/<ε必成立
像1里说的δ还可以取更小的值也都是对的
1.对于极限来说,就引用你说的:
举个例子,给定一个ε,去一个很小的δ,满足那些条件;再取一个较小的ε,由于上一个δ很小,这一个δ可以取的稍大一些,同样也可以满足那些条件.这样一来f(x)趋向于L了,但x却远离c了
最后一句不对,x并没有远离c,而是x的取值范围宽了,是这个范围内的所有x都满足,当然小范围的也满足,也就是说δ可以取的稍大一些都满足了,取小一点也就满足了
对于无限小的一个ε,只要存在δ,0</x-c/<δ时满足,那么对于所有0举个特例f(x)=3显然有limf(x)(x->c)=3
不管ε取多大,δ取任意正值都满足,当然δ取很小的时候也应该满足
2.取δ=1只是一个假设,用来做验证的,看δ=1满不满足,还需什么条件
在取δ=1以后,就是先假定0</x-3/<1时成立,然后进行推导发现,除了要满足0</x-3/<1以外,还必须满足0</x-3/<ε/7就可以做到/f(x)-L/<ε
即0</x-3/<min{1,ε/7}时就是δ=min{1,ε/7}时/f(x)-L/<ε必成立
像1里说的δ还可以取更小的值也都是对的
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