分析：
（1）求出原方程的根,再代入|x1|+|x2|看结果是否为2的整数倍就可以得出结论；
（2）由条件x2-6x-27=0和x2+6x-27=0是偶系二次方程建模,设c=mb2+n,就可以表示出c,然 后根据公式法就可以求出其根,再代入|x1|+|x2|就可以得出结论．
（1）不是,
解方程x2+x-12=0得,x1=3,x2=-4．
|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．
∵3.5不是整数,
∴x2+x-12=0不是“偶系二次方程；
（2）存在．理由如下：
∵x2-6x-27=0和x2+6x-27=0是偶系二次方程,
∴假设c=mb2+n,
当b=-6,c=-27时,
-27=36m+n．
∵x2=0是偶系二次方程,
∴n=0时,m=-四分之三
∴c=-四分之三 b2．
∵x2+3x−四分之27＝0是偶系二次方程,
当b=3时,c=-四分之三 ×32．
∴可设c=-四分之三 b2．
对于任意一个整数b,c=-四分之三 b2时,
△=b2-4ac,
=4b2．
x=
∴x1=-二分之三b,x2=二分之一b．
∴|x1|+|x2|=2|b|,
∵b是整数,
∴对于任何一个整数b,c=-四分之三 b2时,关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．
点评：本题考查了一元二次方程的解法的运用,根的判别式的运用根与系数的关系的运用及数学建模思想的运用,解答本体时根据条件特征建立模型是关键．
【本题考点】
根与系数的关系描述：
（1）若二次项系数为1,常用以下关系：x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=-p,x1x2=q,反过来可得p=-（x1+x2）,q=x1x2,前者是已知系数确定根的相关问题,后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1,则常用以下关系：x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时,x1+x2=,x1x2=,反过来也成立,即=-（x1+x2）,=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程,判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根,求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值,如求,x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件,确定字母的取值．这类问题比较综合,解题时除了利用根与系数的关系,同时还要考虑a≠0,△≥0这两个前提条件．
解一元二次方程-因式分解法描述：
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项,使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解．
根的判别式描述：
利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时,方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时,方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
分析：
（1）求出原方程的根,再代入|x1|+|x2|看结果是否为2的整数倍就可以得出结论；
（2）由条件x2-6x-27=0和x2+6x-27=0是偶系二次方程建模,设c=mb2+n,就可以表示出c,然 后根据公式法就可以求出其根,再代入|x1|+|x2|就可以得出结论．
（1）不是,
解方程x2+x-12=0得,x1=3,x2=-4．
|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．
∵3.5不是整数,
∴x2+x-12=0不是“偶系二次方程；
（2）存在．理由如下：
∵x2-6x-27=0和x2+6x-27=0是偶系二次方程,
∴假设c=mb2+n,
当b=-6,c=-27时,
-27=36m+n．
∵x2=0是偶系二次方程,
∴n=0时,m=-四分之三
∴c=-四分之三 b2．
∵x2+3x−四分之27＝0是偶系二次方程,
当b=3时,c=-四分之三 ×32．
∴可设c=-四分之三 b2．
对于任意一个整数b,c=-四分之三 b2时,
△=b2-4ac,
=4b2．
x=
∴x1=-二分之三b,x2=二分之一b．
∴|x1|+|x2|=2|b|,
∵b是整数,
∴对于任何一个整数b,c=-四分之三 b2时,关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．
点评：本题考查了一元二次方程的解法的运用,根的判别式的运用根与系数的关系的运用及数学建模思想的运用,解答本体时根据条件特征建立模型是关键．
【本题考点】
根与系数的关系描述：
（1）若二次项系数为1,常用以下关系：x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=-p,x1x2=q,反过来可得p=-（x1+x2）,q=x1x2,前者是已知系数确定根的相关问题,后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1,则常用以下关系：x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时,x1+x2=,x1x2=,反过来也成立,即=-（x1+x2）,=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程,判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根,求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值,如求,x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件,确定字母的取值．这类问题比较综合,解题时除了利用根与系数的关系,同时还要考虑a≠0,△≥0这两个前提条件．
解一元二次方程-因式分解法描述：
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项,使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解．
根的判别式描述：
利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时,方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时,方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．