问个数学极限方面的题：求极限lim x^n-1/x-1 (n 为正整数)x->1请详细解释作题的基础知识,特别是 x的n次方-1 怎么化简sorry,不是 "x的n次方-1 就是X倒数的一次方"的意思,是x的n次方,再减一,再除以x-1;请务必写出步骤!还是不太明白,二楼的再受累给讲讲,怎么把 x-1 给消除了,怎么得的极限是 n,小弟我是学文科的,真是麻烦大家了!
2019-05-23
问个数学极限方面的题：
求极限lim x^n-1/x-1 (n 为正整数)
x->1
请详细解释作题的基础知识,特别是 x的n次方-1 怎么化简
sorry,不是 "x的n次方-1 就是X倒数的一次方"的意思,是x的n次方,再减一,再除以x-1;请务必写出步骤!还是不太明白,二楼的再受累给讲讲,怎么把 x-1 给消除了,怎么得的极限是 n,小弟我是学文科的,真是麻烦大家了!
优质解答
x^n-1
=(x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+...+x)-(x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+...+x+1)
=x(x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+...+x+1)-(x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+...+x+1)
=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+...+x+1)
两边同时除以(x-1)得
(x^n-1)/(x-1)=x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+...+x+1
两边取极限得
lim (x^n-1)/(x-1)=n (x->1)
------------------------------------------------------
当然,如果用高等数学的洛必达法则求解会更简捷
lim (x^n-1)/(x-1) (x->1)
=lim (x^n-1)'/(x-1)'
=lim n*(x^(n-1))/1
=n*lim x^(n-1)
=n
x^n-1
=(x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+...+x)-(x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+...+x+1)
=x(x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+...+x+1)-(x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+...+x+1)
=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+...+x+1)
两边同时除以(x-1)得
(x^n-1)/(x-1)=x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+...+x+1
两边取极限得
lim (x^n-1)/(x-1)=n (x->1)
------------------------------------------------------
当然,如果用高等数学的洛必达法则求解会更简捷
lim (x^n-1)/(x-1) (x->1)
=lim (x^n-1)'/(x-1)'
=lim n*(x^(n-1))/1
=n*lim x^(n-1)
=n