①求∂x/∂y：由x=x(y,z)代入方程F(x,y,z)=0,即F(x(y,z),y,z)=0,则把其看成关于未知数y,z的方程,则对其双边关于y求导,得F1'*∂x/∂y+F2'*1+F3'*0=0,于是∂x/∂y=-F2‘/F1’;
②求∂y/∂z：再由y=y(x,z)代入方程F(x,y,z)=0,即F(x,y(x,z),z)=0,则把其看成关于未知数x,z的方程,则对其双边关于z求导,得F1'*0+F2'*∂y/∂z+F3'*1=0,于是∂y/∂z=-F3‘/F2’;
③求∂z/∂x：仍由z=z(x,y)代入方程F(x,y,z)=0,即F(x,y,z(x,y))=0,则把其看成关于未知数x,y的方程,则对其双边关于x求导,得F1'*1+F2'*0+F3'*∂z/∂x=0,于是∂z/∂x=-F1‘/F3’;
于是(∂x/∂y)*(∂y/∂z)*(∂z/∂x)=(-F2‘/F1’)(-F3‘/F2’)(-F1'/F3')=-1.
综上,(∂x/∂y)*(∂y/∂z)*(∂z/∂x)=-1. ①求∂x/∂y：由x=x(y,z)代入方程F(x,y,z)=0,即F(x(y,z),y,z)=0,则把其看成关于未知数y,z的方程,则对其双边关于y求导,得F1'*∂x/∂y+F2'*1+F3'*0=0,于是∂x/∂y=-F2‘/F1’;
②求∂y/∂z：再由y=y(x,z)代入方程F(x,y,z)=0,即F(x,y(x,z),z)=0,则把其看成关于未知数x,z的方程,则对其双边关于z求导,得F1'*0+F2'*∂y/∂z+F3'*1=0,于是∂y/∂z=-F3‘/F2’;
③求∂z/∂x：仍由z=z(x,y)代入方程F(x,y,z)=0,即F(x,y,z(x,y))=0,则把其看成关于未知数x,y的方程,则对其双边关于x求导,得F1'*1+F2'*0+F3'*∂z/∂x=0,于是∂z/∂x=-F1‘/F3’;
于是(∂x/∂y)*(∂y/∂z)*(∂z/∂x)=(-F2‘/F1’)(-F3‘/F2’)(-F1'/F3')=-1.
综上,(∂x/∂y)*(∂y/∂z)*(∂z/∂x)=-1.