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所谓单根和重根,是个相对概念.
二阶微分方程可写成y''+py'+q=Q(n)*e^(rx),其中Q(n)是x的n次多项式.其特征方程为z^2+pz+q=0,特征根为z1,z2.
若二者都不是r,则r不是特征方程的根,在求特解时把特解设为P(n)*e^(rx),将其代入原微分方程,比较系数,即可确定P(n)；
若r=z1且不等于z2,则称r是特征方程的单根,此时特解设为xP(n-1)*e^(rx),将其代入原微分方程,比较系数,即可确定P(n-1)；
若r=z1=z2,则称r是特征方程的二重根,特解设为x^2*P(n-2)*e^(rx),将其代入原微分方程,比较系数,即可确定P(n-2).
比较系数即令方程左右两边x的同次幂的系数都分别相等,该过程一般都归结为求解多元一次方程组,普通线性消元法即可解决.
高阶微分方程同理.
例子不妨自己举几个上上手,可取课后练习,再对一下答案,几个练习后即可很快掌握求解过程.有时候困难的地方在于求解特征方程,一般试一试正负1,正负2等等即可将其降幂,不过这已经属于另外一个话题了.
所谓单根和重根,是个相对概念.
二阶微分方程可写成y''+py'+q=Q(n)*e^(rx),其中Q(n)是x的n次多项式.其特征方程为z^2+pz+q=0,特征根为z1,z2.
若二者都不是r,则r不是特征方程的根,在求特解时把特解设为P(n)*e^(rx),将其代入原微分方程,比较系数,即可确定P(n)；
若r=z1且不等于z2,则称r是特征方程的单根,此时特解设为xP(n-1)*e^(rx),将其代入原微分方程,比较系数,即可确定P(n-1)；
若r=z1=z2,则称r是特征方程的二重根,特解设为x^2*P(n-2)*e^(rx),将其代入原微分方程,比较系数,即可确定P(n-2).
比较系数即令方程左右两边x的同次幂的系数都分别相等,该过程一般都归结为求解多元一次方程组,普通线性消元法即可解决.
高阶微分方程同理.
例子不妨自己举几个上上手,可取课后练习,再对一下答案,几个练习后即可很快掌握求解过程.有时候困难的地方在于求解特征方程,一般试一试正负1,正负2等等即可将其降幂,不过这已经属于另外一个话题了.