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甲，乙两个同学同时报名参加某重点高校2013年自主招生考试，高考前自主招生的程序为审核材料文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格，已知甲、乙两人审核过关的概率分别为 3 5 ， 1 2 ，审核过关后，甲，乙两人文化课测试合格的概率分别为 3 4 ， 4 5 ．（1）求甲，乙两人至少有一个通过审核的概率；（2）设X表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求X的分布列和数学期望

2019-11-23

甲，乙两个同学同时报名参加某重点高校2013年自主招生考试，高考前自主招生的程序为审核材料文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格，已知甲、乙两人审核过关的概率分别为
3
5
，
1
2
，审核过关后，甲，乙两人文化课测试合格的概率分别为
3
4
，
4
5
．
（1）求甲，乙两人至少有一个通过审核的概率；
（2）设X表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求X的分布列和数学期望．
优质解答
（1）设A为”甲，乙两人至少有一人通过审核”，则 P(A)=1-(1-
3
5
)(1-
1
2
)=
4
5

故甲，乙两人至少有一个通过审核的概率为
4
5
；
（2）X的可能取值为0，1，2 P(X=0)=(1-
3
5
×
3
4
)(1-
1
2
×
4
5
)=
33
100
， P(X=2)=(
3
5
×
3
4
)(
1
2
×
4
5
)=
18
100
，P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=
49
100
．
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
33
100
49
100
18
100
EX=0×
33
100
+1×
49
100
+2×
18
100
=
17
20
，
故X的数学期望为
17
20
．
（1）设A为”甲，乙两人至少有一人通过审核”，则 P(A)=1-(1-
3
5
)(1-
1
2
)=
4
5

故甲，乙两人至少有一个通过审核的概率为
4
5
；
（2）X的可能取值为0，1，2 P(X=0)=(1-
3
5
×
3
4
)(1-
1
2
×
4
5
)=
33
100
， P(X=2)=(
3
5
×
3
4
)(
1
2
×
4
5
)=
18
100
，P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=
49
100
．
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
33
100
49
100
18
100
EX=0×
33
100
+1×
49
100
+2×
18
100
=
17
20
，
故X的数学期望为
17
20
．
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