数学
联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念.定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.举例:如图1,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心.应用:如图2,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=12AB,求∠APB的度数.探究:已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探究PA的长.

2019-06-02

联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念.
定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.
举例:如图1,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心.
应用:如图2,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=
1
2
AB,求∠APB的度数.
探究:已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探究PA的长.
优质解答
应用:①若PB=PC,连接PB,则∠PCB=∠PBC,
∵CD为等边三角形的高,
∴AD=BD,∠PCB=30°,
∴∠PBD=∠PBC=30°,
∴PD=
3
3
DB=
3
6
AB,
与已知PD=
1
2
AB矛盾,∴PB≠PC,
②若PA=PC,连接PA,同理可得PA≠PC,
③若PA=PB,由PD=
1
2
AB,得PD=BD,
∴∠APD=45°,
故∠APB=90°;
探究:∵BC=5,AB=3,
∴AC=
BC2AB2
=
5232
=4,
①若PB=PC,设PA=x,则x2+32=(4-x)2
∴x=
7
8
,即PA=
7
8

②若PA=PC,则PA=2,
③若PA=PB,由图知,在Rt△PAB中,不可能.
故PA=2或
7
8
应用:①若PB=PC,连接PB,则∠PCB=∠PBC,
∵CD为等边三角形的高,
∴AD=BD,∠PCB=30°,
∴∠PBD=∠PBC=30°,
∴PD=
3
3
DB=
3
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AB,
与已知PD=
1
2
AB矛盾,∴PB≠PC,
②若PA=PC,连接PA,同理可得PA≠PC,
③若PA=PB,由PD=
1
2
AB,得PD=BD,
∴∠APD=45°,
故∠APB=90°;
探究:∵BC=5,AB=3,
∴AC=
BC2AB2
=
5232
=4,
①若PB=PC,设PA=x,则x2+32=(4-x)2
∴x=
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,即PA=
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②若PA=PC,则PA=2,
③若PA=PB,由图知,在Rt△PAB中,不可能.
故PA=2或
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