数学
联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=12AB，求∠APB的度数．探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．

2019-06-02

联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=
1
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AB，求∠APB的度数．
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．
优质解答
应用：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，
∵CD为等边三角形的高，
∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，
∴PD=
3
3
DB=
3
6
AB，
与已知PD=
1
2
AB矛盾，∴PB≠PC，
②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，
③若PA=PB，由PD=
1
2
AB，得PD=BD，
∴∠APD=45°，
故∠APB=90°；
探究：∵BC=5，AB=3，
∴AC=
BC2−AB2
=
52−32
=4，
①若PB=PC，设PA=x，则x2+32=（4-x）2，
∴x=
7
8
，即PA=
7
8
，
②若PA=PC，则PA=2，
③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA=2或
7
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． 应用：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，
∵CD为等边三角形的高，
∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，
∴PD=
3
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DB=
3
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AB，
与已知PD=
1
2
AB矛盾，∴PB≠PC，
②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，
③若PA=PB，由PD=
1
2
AB，得PD=BD，
∴∠APD=45°，
故∠APB=90°；
探究：∵BC=5，AB=3，
∴AC=
BC2−AB2
=
52−32
=4，
①若PB=PC，设PA=x，则x2+32=（4-x）2，
∴x=
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，即PA=
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，
②若PA=PC，则PA=2，
③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA=2或
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