数学
为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”．比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表： 成绩等级 A B C D E 成绩（分） 90 70 60 40 30 人数（名） 4 6 10 7 3 （Ⅰ）根据上面的

2019-04-30

为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”．比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：
成绩等级 A B C D E
成绩（分） 90 70 60 40 30
人数（名） 4 6 10 7 3
（Ⅰ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及其数学期望EX；
（Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．
优质解答
（I）根据统计数据可知，从本地区参加“数独比赛”的30名小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为
4
30
+
6
30
=
1
3
，
即从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为
1
3
．
（II）由题意知随机变量X可取0，1，2，3，
∴P（X=0）=C
  03
（
1
3
） 0 （
2
3
） 3 =
8
27
；P（X=1）=C
  13
（
1
3
） 1 （
2
3
） 2 =
4
9
；
P（X=2）=C
  23
（
1
3
） 2 （
2
3
）=
2
9
；
P（X=3）=C
  33
（
1
3
） 3 （
2
3
） 0 =
1
27
；
所以X的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）
X 0 1 2 3
P
8
27
4
9
2
9
1
27
…（11分）
故Eξ=0×
8
27
+1×
4
9
+2×
2
9
+3×
1
27
=1，所求期望值为1．
（III）设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．
设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m，n．
则基本事件的总数为
C 230
，
不妨设m＞n，
当m=90时，n=60或40或30，基本事件的数为C
  14
（C
  110
+C
  17
+C
  13
）；
当m=70时，n=40或30，基本事件的数为C
  16
（C
  17
+C
  13
）；
当m=60时，n=30，基本事件的数为C
  110
C
  13
；
∴P（M）=
C 14
(
C 110
+
C 17
+
C 13
)+
C 16
(
C 17
+
C 13
)+
C 110
C 13
C 230
=
34
87
．
∴从这30名学生中，随机选取2人，“这两个人的成绩之差大于20分”的概率为
34
87
．
（I）根据统计数据可知，从本地区参加“数独比赛”的30名小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为
4
30
+
6
30
=
1
3
，
即从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为
1
3
．
（II）由题意知随机变量X可取0，1，2，3，
∴P（X=0）=C
  03
（
1
3
） 0 （
2
3
） 3 =
8
27
；P（X=1）=C
  13
（
1
3
） 1 （
2
3
） 2 =
4
9
；
P（X=2）=C
  23
（
1
3
） 2 （
2
3
）=
2
9
；
P（X=3）=C
  33
（
1
3
） 3 （
2
3
） 0 =
1
27
；
所以X的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）
X 0 1 2 3
P
8
27
4
9
2
9
1
27
…（11分）
故Eξ=0×
8
27
+1×
4
9
+2×
2
9
+3×
1
27
=1，所求期望值为1．
（III）设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．
设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m，n．
则基本事件的总数为
C 230
，
不妨设m＞n，
当m=90时，n=60或40或30，基本事件的数为C
  14
（C
  110
+C
  17
+C
  13
）；
当m=70时，n=40或30，基本事件的数为C
  16
（C
  17
+C
  13
）；
当m=60时，n=30，基本事件的数为C
  110
C
  13
；
∴P（M）=
C 14
(
C 110
+
C 17
+
C 13
)+
C 16
(
C 17
+
C 13
)+
C 110
C 13
C 230
=
34
87
．
∴从这30名学生中，随机选取2人，“这两个人的成绩之差大于20分”的概率为
34
87
．
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