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二次函数知识点总结
1.定义：一般地,如果 是常数, ,那么 叫做 的二次函数.
2.二次函数 的性质
（1）抛物线 的顶点是坐标原点,对称轴是 轴.
（2）函数 的图像与 的符号关系.
①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；
②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点,对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .
3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.
4.二次函数 用配方法可化成： 的形式,其中 .
5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时,开口向上；当时,开口向下；
相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地, 轴记作直线 .
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法： ,∴顶点是 ,对称轴是直线 .
（2）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为( , ),对称轴是直线 .
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
9.抛物线 中, 的作用
（1） 决定开口方向及开口大小,这与 中的 完全一样.
（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线
,故：① 时,对称轴为 轴；② （即 、 同号）时,对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时,对称轴在 轴右侧.
（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.
当 时, ,∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0, ）：
① ,抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴；③ ,与轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则 .
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当 时
开口向上
当 时
开口向下 （ 轴）
（0,0）
（ 轴）
(0, )
( ,0)
( , )
( )
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值,通常选择一般式.
（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ,通常选用交点式： .
12.直线与抛物线的交点
（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).
（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).
（3）抛物线与 轴的交点
二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ,是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 抛物线与 轴相交；
②有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；
③没有交点 抛物线与 轴相离.
（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是 的两个实数根.
（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点,由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; ②方程组只有一组解时 与 只有一个交点；③方程组无解时 与没有交点.
二次函数知识点总结
1.定义：一般地,如果 是常数, ,那么 叫做 的二次函数.
2.二次函数 的性质
（1）抛物线 的顶点是坐标原点,对称轴是 轴.
（2）函数 的图像与 的符号关系.
①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；
②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点,对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .
3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.
4.二次函数 用配方法可化成： 的形式,其中 .
5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时,开口向上；当时,开口向下；
相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地, 轴记作直线 .
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法： ,∴顶点是 ,对称轴是直线 .
（2）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为( , ),对称轴是直线 .
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
9.抛物线 中, 的作用
（1） 决定开口方向及开口大小,这与 中的 完全一样.
（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线
,故：① 时,对称轴为 轴；② （即 、 同号）时,对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时,对称轴在 轴右侧.
（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.
当 时, ,∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0, ）：
① ,抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴；③ ,与轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则 .
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当 时
开口向上
当 时
开口向下 （ 轴）
（0,0）
（ 轴）
(0, )
( ,0)
( , )
( )
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值,通常选择一般式.
（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ,通常选用交点式： .
12.直线与抛物线的交点
（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).
（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).
（3）抛物线与 轴的交点
二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ,是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 抛物线与 轴相交；
②有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；
③没有交点 抛物线与 轴相离.
（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是 的两个实数根.
（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点,由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; ②方程组只有一组解时 与 只有一个交点；③方程组无解时 与没有交点.