排列组合问题 四个数学老师分别教四个班的数学课，现在进行数学老师，每个班的老师不能监考所教的班，有排列组合问题 四个数学老师分别教四个班的数学课，现在进行数学老师，每个班的老师不能监考所教的班，有多少种排法？为什么？
2019-04-03
排列组合问题 四个数学老师分别教四个班的数学课，现在进行数学老师，每个班的老师不能监考所教的班，有排列组合问题 四个数学老师分别教四个班的数学课，现在进行数学老师，每个班的老师不能监考所教的班，有多少种排法？为什么？
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错排问题。 问题： 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？ 这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。 错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。 当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.1递推的推导错排公式编辑 第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法； 第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法； 综上得到 D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)] 特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1. 下面通过这个递推关系推导通项公式： 为方便起见，设D(k) = k! N(k), k = 1, 2, …, n, 则N(1) = 0, N(2) = 1/2. n≥ 3时，n! N(n) = (n-1) (n-1)! N(n-1) + (n-1)! N(n-2) 即nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2) 于是有N(n) - N(n-1) = - [N(n-1) - N(n-2)] / n = (-1/n) [-1/(n-1)] [-1/(n-2)]…(-1/3) [N(2) - N(1)] = (-1)^n / n!. 因此 N(n-1) - N(n-2) = (-1)^(n-1) / (n-1)!, N(2) - N(1) = (-1)^2 / 2!. 相加，可得 N(n) = (-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n! 因此 D(n) = n! [(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!]. 此即错排公式。 根据D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)] D(1)=0 D(2)=1 D(3)=2*1=2 D(4)=3*(1+2)=9
错排问题。 问题： 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？ 这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。 错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。 当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.1递推的推导错排公式编辑 第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法； 第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法； 综上得到 D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)] 特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1. 下面通过这个递推关系推导通项公式： 为方便起见，设D(k) = k! N(k), k = 1, 2, …, n, 则N(1) = 0, N(2) = 1/2. n≥ 3时，n! N(n) = (n-1) (n-1)! N(n-1) + (n-1)! N(n-2) 即nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2) 于是有N(n) - N(n-1) = - [N(n-1) - N(n-2)] / n = (-1/n) [-1/(n-1)] [-1/(n-2)]…(-1/3) [N(2) - N(1)] = (-1)^n / n!. 因此 N(n-1) - N(n-2) = (-1)^(n-1) / (n-1)!, N(2) - N(1) = (-1)^2 / 2!. 相加，可得 N(n) = (-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n! 因此 D(n) = n! [(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!]. 此即错排公式。 根据D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)] D(1)=0 D(2)=1 D(3)=2*1=2 D(4)=3*(1+2)=9