推理与证明是数学的一般思考方式，也是学数学、做数学的基本功．请选择你认为合适的证明方法，完成下面的问题．已知a，b，c∈R，a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0．求证：a，b，c，全为正数．
2019-05-29
推理与证明是数学的一般思考方式，也是学数学、做数学的基本功．请选择你认为合适的证明方法，完成下面的问题．
已知a，b，c∈R，a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0．求证：a，b，c，全为正数．
优质解答
证明：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc>0，
则它们只能是两负一正，不妨设a<0，b<0，c>0．…（3分）
又∵ab+bc+ca>0，∴a（b+c）+bc>0，且bc<0，
∴a（b+c）>0．①…（7分）
又∵a<0，∴b+c<0．∴a+b+c<0…（10分）
这与a+b+c>0相矛盾．
故假设不成立，原结论成立，即a，b，c均为正实数．…（12分）
证明：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc>0，
则它们只能是两负一正，不妨设a<0，b<0，c>0．…（3分）
又∵ab+bc+ca>0，∴a（b+c）+bc>0，且bc<0，
∴a（b+c）>0．①…（7分）
又∵a<0，∴b+c<0．∴a+b+c<0…（10分）
这与a+b+c>0相矛盾．
故假设不成立，原结论成立，即a，b，c均为正实数．…（12分）