1960年，数学家证明存在一个正整数n，使得1335+1105+845+275=n5，推翻了数学家欧拉的一个猜想．请你求出n的值．
2019-04-13
1960年，数学家证明存在一个正整数n，使得1335+1105+845+275=n5，推翻了数学家欧拉的一个猜想．请你求出n的值．
优质解答
①先对n进行初步估值，
1335+1105+845+275=n5，
∵1335＜10×1005，1105＜10×1005，845＜1×1005，275＜1×1005，
∴1335+1105+845+275＜22×1005＜2005，
∴133＜n＜200；
②求出n的个位数
1335+1105+845+275=n5，
由乘方末尾数字的循环规律可知：
（1335+1105+845+275）的末尾数字与（133+110+84+27）的末尾数字相同是4；
③求n的十位数
由结论①，等式两边对3同余，
∴1335+1105+845+275≡n5（mod3），
而1335+1105+845+275≡15+25+05+05≡0（mod3），
∴n5能被3整除，
∴n能被3整除，
∴n=144或174，
仍由结论①，等式两边对7同余，
而1335+1105+845+275≡05+55+05+65≡2（mod7），
∴n5≡2（mod7），
又∵1445≡2（mod7）；1745≡4（mod7），
∴n=144．
①先对n进行初步估值，
1335+1105+845+275=n5，
∵1335＜10×1005，1105＜10×1005，845＜1×1005，275＜1×1005，
∴1335+1105+845+275＜22×1005＜2005，
∴133＜n＜200；
②求出n的个位数
1335+1105+845+275=n5，
由乘方末尾数字的循环规律可知：
（1335+1105+845+275）的末尾数字与（133+110+84+27）的末尾数字相同是4；
③求n的十位数
由结论①，等式两边对3同余，
∴1335+1105+845+275≡n5（mod3），
而1335+1105+845+275≡15+25+05+05≡0（mod3），
∴n5能被3整除，
∴n能被3整除，
∴n=144或174，
仍由结论①，等式两边对7同余，
而1335+1105+845+275≡05+55+05+65≡2（mod7），
∴n5≡2（mod7），
又∵1445≡2（mod7）；1745≡4（mod7），
∴n=144．