精选问答
在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人） 几何证明选讲 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计 男同学 12 4 6 22 女同学 0 8 12 20 合计 12 12 18 42（Ⅰ）在统计结果中，如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类，把《不等式选讲》称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：（单位：人） 几何类 代数类 总计 男同学 16 6 22

2019-05-07

在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人）
几何证明选讲 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计
男同学 12 4 6 22
女同学 0 8 12 20
合计 12 12 18 42
（Ⅰ）在统计结果中，如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类，把《不等式选讲》称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：（单位：人）
几何类 代数类 总计
男同学 16 6 22
女同学 8 12 20
总计 24 18 42
据此判断是否有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？
（Ⅱ）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中．
①求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；
②记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
下面临界值表仅供参考：
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：K2＝
n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．
优质解答
（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值k=
42×(16×12−8×6)2
24×18×20×22
=
252
55
≈4.582＞3.841．…（2分）
所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．   …（4分）
（Ⅱ）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．
①方法一：令事件A为“这名班级学委被抽到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，则P（A∩B）=
C
3
3
C
3
18
，P（A）=
C
2
17
C
3
18
．
所以P（B|A）=
P(A∩B)
P(A)
=
C
3
3
C
2
17
=
2
17×16
=
1
136
．…（7分）
方法二：令事件C为“在这名学委被抽到的条件下，两名数学科代表也被抽到”，
则P（C）=
C
2
2
C
2
17
=
2
17×16
=
1
136
．
②由题知X的可能值为0，1，2．
依题意P（X=0）=
C
3
16
C
3
18
=
35
51
；P（X=1）=
C
2
16
C
1
2
C
3
18
=
5
17
；P（X=2）=
C
1
16
C
2
2
C
3
18
=
1
51
．
从而X的分布列为
X 0 1 2
P
35
51
5
17
1
51
…（10分）
于是E（X）=0×
35
51
+1×
5
17
+2×
1
51
=
17
51
=
1
3
．…（12分） （Ⅰ）由表中数据得K2的观测值k=
42×(16×12−8×6)2
24×18×20×22
=
252
55
≈4.582＞3.841．…（2分）
所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．   …（4分）
（Ⅱ）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学．
①方法一：令事件A为“这名班级学委被抽到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，则P（A∩B）=
C
3
3
C
3
18
，P（A）=
C
2
17
C
3
18
．
所以P（B|A）=
P(A∩B)
P(A)
=
C
3
3
C
2
17
=
2
17×16
=
1
136
．…（7分）
方法二：令事件C为“在这名学委被抽到的条件下，两名数学科代表也被抽到”，
则P（C）=
C
2
2
C
2
17
=
2
17×16
=
1
136
．
②由题知X的可能值为0，1，2．
依题意P（X=0）=
C
3
16
C
3
18
=
35
51
；P（X=1）=
C
2
16
C
1
2
C
3
18
=
5
17
；P（X=2）=
C
1
16
C
2
2
C
3
18
=
1
51
．
从而X的分布列为
X 0 1 2
P
35
51
5
17
1
51
…（10分）
于是E（X）=0×
35
51
+1×
5
17
+2×
1
51
=
17
51
=
1
3
．…（12分）
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