优质解答
我们知道,如果未知数的个数多于方程的个数,那么,一般来说,它的解往往是不确定的,例如方程
x-2y=3,
方程组
等,它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．
不定方程(组)是数论中的一个古老分支,其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年,“百鸡问题”等一直流传至今,“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来,不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程,不仅可以拓宽数学知识面,而且可以培养思维能力,提高数学解题的技能．
我们先看一个例子．
例 小张带了5角钱去买橡皮和铅笔,橡皮每块3分,铅笔每支1角1分,问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔?
解 设小张买了x块橡皮,y支铅笔,于是根据题意得方程
3x+11y=50．
这是一个二元一次不定方程．从方程来看,任给一个x值,就可以得到一个y值,所以它的解有无数多组．
但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数,而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零,所以从这个问题的要求来说,我们只要求这个方程的非负整数解．
因为铅笔每支1角1分,所以5角钱最多只能买到4支铅笔,因此,小张买铅笔的支数只能是0,1,2,3,4支,即y的取值只能是0,1,2,3,4这五个．
若y=3,则x=17/3,不是整数,不合题意；
若y=4,则x=2,符合题意．
所以,这个方程有两组正整数解,即
也就是说,5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔,或者13块橡皮与1支铅笔．
像这个例子,我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时,那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时,二元一次不定方程的解就一定能确定了呢?不能!现举例说明．
例 求不定方程x-y=2的正整数解．
解 我们知道：3-1=2,4-2=2,5-3=2,…,所以这个方程的正整数解有无数组,它们是
其中n可以取一切自然数．
因此,所要解的不定方程有无数组正整数解,它的解是不确定的．
上面关于橡皮与铅笔的例子,我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的,但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢?我们现在就来研究这个问题,先给出一个定理．
定理 如果a,b是互质的正整数,c是整数,且方程
ax+by=c ①
有一组整数解x0,y0则此方程的一切整数解可以表示为
其中t=0,±1,±2,±3,…．
证 因为x0,y0是方程①的整数解,当然满足
ax0+by0=c, ②
因此
a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．
这表明x=x0-bt,y=y0+at也是方程①的解．
设x’,y’是方程①的任一整数解,则有
ax’+bx’=c. ③
③-②得
a(x’-x0)=b’(y’-y0)． ④
由于(a,b)=1,所以a｜y’-y0,即y’=y0+at,其中t是整数．将y’=y0+at代入④,即得x’=x0-bt．因此x’, y’可以表示成x=x0-bt,y=y0+at的形式,所以x=x0-bt,y=y0+at表示方程①的一切整数解,命题得证．
有了上述定理,求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．
例1 求11x+15y=7的整数解．
解法1 将方程变形得
因为x是整数,所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2,y0=-1是这个方程的一组整数解,所以方程的解为
解法2 先考察11x+15y=1,通过观察易得
11×(-4)+15×(3)=1,
所以
11×(-4×7)+15×(3×7)=7,
可取x0=-28,y0=21．从而
可见,二元一次不定方程在无约束条件的情况下,通常有无数组整数解,由于求出的特解不同,同一个不定方程的解的形式可以不同,但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换,就可化为同一形式．
例2 求方程6x+22y=90的非负整数解．
解 因为(6,22)=2,所以方程两边同除以2得
3x+11y=45． ①
由观察知,x1=4,y1=-1是方程
3x+11y=1 ②
的一组整数解,从而方程①的一组整数解为
由定理,可得方程①的一切整数解为
因为要求的是原方程的非负整数解,所以必有
由于t是整数,由③,④得15≤t≤16,所以只有t=15,t=16两种可能．
当t=15时,x=15,y=0；当t=16时,x=4,y=3．所以原方程的非负整数解是
例3 求方程7x+19y=213的所有正整数解．
分析 这个方程的系数较大,用观察法去求其特殊解比较困难,碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小,最后再用观察法求得其解．
解 用方程
7x+19y=213 ①
的最小系数7除方程①的各项,并移项得
因为x,y是整数,故3-5y/7=u也是整数,于是5y+7u=3．T儆*5除此式的两边得
2u+5v=3． ④
由观察知u=-1,v=1是方程④的一组解．将u=-1,v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25,y0=2,所以它的一切解为
由于要求方程的正整数解,所以
解不等式,得t只能取0,1．因此得原方程的正整数解为
当方程的系数较大时,我们还可以用辗转相除法求其特解,其解法结合例题说明．
例4 求方程37x+107y=25的整数解．
解 107=2×37+33,
37=1×33+4,
33=8×4+1．
为用37和107表示1,我们把上述辗转相除过程回代,得
1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4
=37-9×(37-33)=9×33-8×37
＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37
=37×(-26)+107×9．
由此可知x1=-26,y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是
x0=25×(-26)=-650,y0=25×9=225
是方程37x+107y=25的一组整数解．
所以原方程的一切整数解为
例5 某国硬币有5分和7分两种,问用这两种硬币支付142分货款,有多少种不同的方法?
解 设需x枚7分,y枚5分恰好支付142分,于是
7x+5y=142. ①
所以
由于7x≤142,所以x≤20,并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5,2)=1,所以5｜x-1,从而x=1,6,11,16,①的非负整数解为
所以,共有4种不同的支付方式．
说明 当方程的系数较小时,而且是求非负整数解或者是实际问题时,这时候的解的组数往往较少,可以用整除的性质加上枚举,也能较容易地解出方程．
多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．
例6 求方程9x+24y-5z=1000的整数解．
解 设9x+24y=3t,即3x+8y=t,于是3t-5z=1000．于是原方程可化为
用前面的方法可以求得①的解为
②的解为
消去t,得
大约1500年以前,我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里,曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题,通俗地讲就是下例．
例7 今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?
解 设公鸡、母鸡、小鸡各买x,y,z只,由题意列方程组
①化简得 15x+9y+z=300． ③
③-②得 14x+8y=200,
即 7x+4y=100．
解7x+4y=1得
于是7x+4y=100的一个特解为
由定理知7x+4y=100的所有整数解为
由题意知,0＜x,y,z＜100,所以
由于t是整数,故t只能取26,27,28,而且x,y,z还应满足
x+y+z=100．
t x y z
26 4 18 78
27 8 11 81
28 12 4 84
即可能有三种情况：4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡；或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡；或12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡．
练习十七
1．求下列不定方程的整数
(1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；
(3)103x-91y＝5．
2．求下列不定方程的正整数
(1)3x-5y=19； (2)12x+5y=125．
3．求下列不定方程的整数
(1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=78．
4．求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．
5．求不定方程组
的正整数解.
我们知道,如果未知数的个数多于方程的个数,那么,一般来说,它的解往往是不确定的,例如方程
x-2y=3,
方程组
等,它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．
不定方程(组)是数论中的一个古老分支,其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年,“百鸡问题”等一直流传至今,“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来,不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程,不仅可以拓宽数学知识面,而且可以培养思维能力,提高数学解题的技能．
我们先看一个例子．
例 小张带了5角钱去买橡皮和铅笔,橡皮每块3分,铅笔每支1角1分,问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔?
解 设小张买了x块橡皮,y支铅笔,于是根据题意得方程
3x+11y=50．
这是一个二元一次不定方程．从方程来看,任给一个x值,就可以得到一个y值,所以它的解有无数多组．
但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数,而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零,所以从这个问题的要求来说,我们只要求这个方程的非负整数解．
因为铅笔每支1角1分,所以5角钱最多只能买到4支铅笔,因此,小张买铅笔的支数只能是0,1,2,3,4支,即y的取值只能是0,1,2,3,4这五个．
若y=3,则x=17/3,不是整数,不合题意；
若y=4,则x=2,符合题意．
所以,这个方程有两组正整数解,即
也就是说,5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔,或者13块橡皮与1支铅笔．
像这个例子,我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时,那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时,二元一次不定方程的解就一定能确定了呢?不能!现举例说明．
例 求不定方程x-y=2的正整数解．
解 我们知道：3-1=2,4-2=2,5-3=2,…,所以这个方程的正整数解有无数组,它们是
其中n可以取一切自然数．
因此,所要解的不定方程有无数组正整数解,它的解是不确定的．
上面关于橡皮与铅笔的例子,我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的,但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢?我们现在就来研究这个问题,先给出一个定理．
定理 如果a,b是互质的正整数,c是整数,且方程
ax+by=c ①
有一组整数解x0,y0则此方程的一切整数解可以表示为
其中t=0,±1,±2,±3,…．
证 因为x0,y0是方程①的整数解,当然满足
ax0+by0=c, ②
因此
a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．
这表明x=x0-bt,y=y0+at也是方程①的解．
设x’,y’是方程①的任一整数解,则有
ax’+bx’=c. ③
③-②得
a(x’-x0)=b’(y’-y0)． ④
由于(a,b)=1,所以a｜y’-y0,即y’=y0+at,其中t是整数．将y’=y0+at代入④,即得x’=x0-bt．因此x’, y’可以表示成x=x0-bt,y=y0+at的形式,所以x=x0-bt,y=y0+at表示方程①的一切整数解,命题得证．
有了上述定理,求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．
例1 求11x+15y=7的整数解．
解法1 将方程变形得
因为x是整数,所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2,y0=-1是这个方程的一组整数解,所以方程的解为
解法2 先考察11x+15y=1,通过观察易得
11×(-4)+15×(3)=1,
所以
11×(-4×7)+15×(3×7)=7,
可取x0=-28,y0=21．从而
可见,二元一次不定方程在无约束条件的情况下,通常有无数组整数解,由于求出的特解不同,同一个不定方程的解的形式可以不同,但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换,就可化为同一形式．
例2 求方程6x+22y=90的非负整数解．
解 因为(6,22)=2,所以方程两边同除以2得
3x+11y=45． ①
由观察知,x1=4,y1=-1是方程
3x+11y=1 ②
的一组整数解,从而方程①的一组整数解为
由定理,可得方程①的一切整数解为
因为要求的是原方程的非负整数解,所以必有
由于t是整数,由③,④得15≤t≤16,所以只有t=15,t=16两种可能．
当t=15时,x=15,y=0；当t=16时,x=4,y=3．所以原方程的非负整数解是
例3 求方程7x+19y=213的所有正整数解．
分析 这个方程的系数较大,用观察法去求其特殊解比较困难,碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小,最后再用观察法求得其解．
解 用方程
7x+19y=213 ①
的最小系数7除方程①的各项,并移项得
因为x,y是整数,故3-5y/7=u也是整数,于是5y+7u=3．T儆*5除此式的两边得
2u+5v=3． ④
由观察知u=-1,v=1是方程④的一组解．将u=-1,v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25,y0=2,所以它的一切解为
由于要求方程的正整数解,所以
解不等式,得t只能取0,1．因此得原方程的正整数解为
当方程的系数较大时,我们还可以用辗转相除法求其特解,其解法结合例题说明．
例4 求方程37x+107y=25的整数解．
解 107=2×37+33,
37=1×33+4,
33=8×4+1．
为用37和107表示1,我们把上述辗转相除过程回代,得
1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4
=37-9×(37-33)=9×33-8×37
＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37
=37×(-26)+107×9．
由此可知x1=-26,y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是
x0=25×(-26)=-650,y0=25×9=225
是方程37x+107y=25的一组整数解．
所以原方程的一切整数解为
例5 某国硬币有5分和7分两种,问用这两种硬币支付142分货款,有多少种不同的方法?
解 设需x枚7分,y枚5分恰好支付142分,于是
7x+5y=142. ①
所以
由于7x≤142,所以x≤20,并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5,2)=1,所以5｜x-1,从而x=1,6,11,16,①的非负整数解为
所以,共有4种不同的支付方式．
说明 当方程的系数较小时,而且是求非负整数解或者是实际问题时,这时候的解的组数往往较少,可以用整除的性质加上枚举,也能较容易地解出方程．
多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．
例6 求方程9x+24y-5z=1000的整数解．
解 设9x+24y=3t,即3x+8y=t,于是3t-5z=1000．于是原方程可化为
用前面的方法可以求得①的解为
②的解为
消去t,得
大约1500年以前,我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里,曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题,通俗地讲就是下例．
例7 今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?
解 设公鸡、母鸡、小鸡各买x,y,z只,由题意列方程组
①化简得 15x+9y+z=300． ③
③-②得 14x+8y=200,
即 7x+4y=100．
解7x+4y=1得
于是7x+4y=100的一个特解为
由定理知7x+4y=100的所有整数解为
由题意知,0＜x,y,z＜100,所以
由于t是整数,故t只能取26,27,28,而且x,y,z还应满足
x+y+z=100．
t x y z
26 4 18 78
27 8 11 81
28 12 4 84
即可能有三种情况：4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡；或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡；或12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡．
练习十七
1．求下列不定方程的整数
(1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；
(3)103x-91y＝5．
2．求下列不定方程的正整数
(1)3x-5y=19； (2)12x+5y=125．
3．求下列不定方程的整数
(1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=78．
4．求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．
5．求不定方程组
的正整数解.