过交点的直线系问题高一数学中,m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0就表示过直线A1x＋B1y＋C1=0和直线A2x＋B2y＋C2=0交点的直线系方程,其中的道理是什么?为什么m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0就决定了两直线的交点?
2019-05-30
过交点的直线系问题
高一数学中,m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0就表示过直线A1x＋B1y＋C1=0和直线A2x＋B2y＋C2=0交点的直线系方程,其中的道理是什么?为什么m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0就决定了两直线的交点?
优质解答
应该有个条件,m,n不同为0
（1）A1x＋B1y＋C1=0和直线A2x＋B2y＋C2=0相交
∴ 方程m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0 （m,n不同为0）
x,y前的系数不同为0（可以用反证法说明,此处不是重点,仅仅为了严谨）
表示直线方程.
（2）设直线A1x＋B1y＋C1=0和直线A2x＋B2y＋C2=0的交点是(x0,y0)
∴ A1x0＋B1y0＋C1=0和A2x0＋B2y0＋C2=0
∴ m(A1x0＋B1y0＋C1)＋n(A2x0＋B2y0＋C2)＝0
即(x0,y0)满足方程m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0
综合（1）（2）
m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过两直线交点的直线.
应该有个条件,m,n不同为0
（1）A1x＋B1y＋C1=0和直线A2x＋B2y＋C2=0相交
∴ 方程m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0 （m,n不同为0）
x,y前的系数不同为0（可以用反证法说明,此处不是重点,仅仅为了严谨）
表示直线方程.
（2）设直线A1x＋B1y＋C1=0和直线A2x＋B2y＋C2=0的交点是(x0,y0)
∴ A1x0＋B1y0＋C1=0和A2x0＋B2y0＋C2=0
∴ m(A1x0＋B1y0＋C1)＋n(A2x0＋B2y0＋C2)＝0
即(x0,y0)满足方程m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0
综合（1）（2）
m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过两直线交点的直线.