（数学牛人）帮助我这位不聪明的学弟,如下一批产品中96%是合格品,检查产品时,一件合格品被误认为是次品的概率是0.02,一次次品被误认为是合格品的概率是0.05,求在被检查后认为时合格品的产品确是合格品的概率.如下对以往数据进行分析,结果表明：当机器调整良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,产品的合格率为30%,每天早上机器开动时,机器调整良好的概率是75%,设某日早上第一件产品是合格品,试问机器调整良好的概率是多少?
2019-05-04
（数学牛人）帮助我这位不聪明的学弟,
如下
一批产品中96%是合格品,检查产品时,一件合格品被误认为是次品的概率是0.02,一次次品被误认为是合格品的概率是0.05,求在被检查后认为时合格品的产品确是合格品的概率.
如下
对以往数据进行分析,结果表明：当机器调整良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,产品的合格率为30%,每天早上机器开动时,机器调整良好的概率是75%,设某日早上第一件产品是合格品,试问机器调整良好的概率是多少?
优质解答
回答：
1. 检查后,“真”合格品的比例降为
0.96 x (1-0.02) = 0.9408；
“假”合格品的比例为
(1-0.96) x 0.05 = 0.0020;
所以,检验后,“合格品”为“真”合格品的概率是
0.9408 / (0.9408+0.0020) = 0.9979.
2. 可用贝叶斯定理(Bayes' Theorem)求解.
设“机器良好”为事件A,“产品合格”为事件B.由题可知,P(B|A)=0.9, P(B|非A)=0.3, P(A)=0.75, P(非A)=1-P(A)=0.25.现在要求P(A|B).按贝叶斯定理,
P(A|B)
= P(B|A) x P(A) / [P(B|A)xP(A) + P(B|非A)xP(非A)]
= 0.9x0.75/[0.9x0.75 + 0.3x0.25]
= 0.9.
回答：
1. 检查后,“真”合格品的比例降为
0.96 x (1-0.02) = 0.9408；
“假”合格品的比例为
(1-0.96) x 0.05 = 0.0020;
所以,检验后,“合格品”为“真”合格品的概率是
0.9408 / (0.9408+0.0020) = 0.9979.
2. 可用贝叶斯定理(Bayes' Theorem)求解.
设“机器良好”为事件A,“产品合格”为事件B.由题可知,P(B|A)=0.9, P(B|非A)=0.3, P(A)=0.75, P(非A)=1-P(A)=0.25.现在要求P(A|B).按贝叶斯定理,
P(A|B)
= P(B|A) x P(A) / [P(B|A)xP(A) + P(B|非A)xP(非A)]
= 0.9x0.75/[0.9x0.75 + 0.3x0.25]
= 0.9.