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解答题
1、（2010•咸宁）已知二次函数y=x2+bx﹣c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m,0）,（﹣3m,0）（m≠0）．
（1）证明4c=3b2；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
2、（2010•十堰）已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．
（1）求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式；
（3）在直角坐标系xoy中,画出（2）中的函数图象,结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时,求b的取值范围．
3、（2010•南京）已知点A（1,1）在二次函数y=x2﹣2ax+b图象上．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点,求这个二次函数的图象的顶点坐标．
4、（2010•娄底）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标是（﹣2,0）,点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长（OC＜OB）是方程x2﹣10x+24=0的两个根．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式．
5、（2010•汕头）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为（﹣1,0）,与y轴的交点坐标为（0,3）．
（1）求出b,c的值,并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围．
6、（2009•肇庆）已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x2+px+q的顶点为M,且与x轴相交于A（x1,0）、B（x2,0）两点,求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式．
7、（2009•新疆）（1）用配方法把二次函数y=x2﹣4x+3变成y=（x﹣h）2+k的形成．
（2）在直角坐标系中画出y=x2﹣4x+3的图象．
（3）若A（x1,y1）,B（x2,y2）是函数y=x2﹣4x+3图象上的两点,且x1＜x2＜1,请比较y1,y2的大小关系．（直接写结果）
（4）把方程x2﹣4x+3=2的根在函数y=x2﹣4x+3的图象上表示出来．
8、（2009•黔东南州）已知二次函数y=x2+ax+a﹣2．
（1）求证：不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设a＜0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为 时,求出此二次函数的解析式；
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为 ,若存在求出P点坐标,若不存在请说明理由．
9、（2009•宁夏）如图,抛物线y=﹣ x2+ x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）证明△ABC为直角三角形；
（3）在抛物线上除C点外,是否还存在另外一个点P,使△ABP是直角三角形,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由．
10、（2009•梅州）如图,已知抛物线y=﹣ x2+ x+ 与x轴的两个交点为A、B,与y轴交于点C．
（1）求A,B,C三点的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若坐标平面内的点M,使得以点M和三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标．（直接写出点的坐标,不必写求解过程）
11、（2009•娄底）已知关于x的二次函数y=x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4．
（1）探究m满足什么条件时,二次函数y的图象与x轴的交点的个数；
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1,0）,B（x2,0）,且x12+x22=5,与y轴的交点为C,它的顶点为M,求直线CM的解析式．
12、（2009•黄石）已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）
（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点,求a的值；
（2）若函数的图象是抛物线,且顶点始终在x轴上方,求a的取值范围．
13、（2008•天津）已知抛物线y=3ax2+2bx+c,
（Ⅰ）若a=b=1,c=﹣1,求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1,且当﹣1＜x＜1时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围；
（Ⅲ）若a+b+c=0,且x1=0时,对应的y1＞0；x2=1时,对应的y2＞0,试判断当0＜x＜1时,抛物线与x轴是否有公共点?若有,请证明你的结论；若没有,阐述理由．
14、（2008•长春）已知两个关于x的二次函数y1与y2,y1=a（x﹣k）2+2（k＞0）,y1+y2=x2+6x+12；当x=k时,y2=17；且二次函数y2的图象的对称轴是直线x=﹣1．
（1）求k的值；
（2）求函数y1,y2的表达式；
（3）在同一直角坐标系内,问函数y1的图象与y2的图象是否有交点?请说明理由．
15、（2008•北京）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1＜x2）．若y是关于m的函数,且y=x2﹣2x1,求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下,结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时,y≤2m．
16、（2007•天津）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=x有两个实数根x1,x2,且满足x1＞0,x2﹣x1＞1．
（1）试证明c＞0；
（2）证明b2＞2（b+2c）；
（3）对于二次函数y=x2+bx+c,若自变量取值为x0,其对应的函数值为y0,则当0＜x0＜x1时,试比较y0与x1的大小．
17、（2007•宁夏）二次函数y=ax2+bx+c中,自变量x与函数y的对应值如下表：
x﹣1﹣ 0 1 2 3
y﹣2﹣ 1 2 1﹣ ﹣2
（1）判断二次函数图象的开口方向,并写出它的顶点坐标．
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c是常数）的两个根x1,x2的取值范围是下列选项中的哪一个 _________ ．
①
②
③
④ ．
18、（2007•茂名）已知函数y=x2+2x+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别是x1,x2,且x12+x22=c2﹣2c,求c及x1,x2的值．
19、（2007•贵阳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围．
20、（2006•淄博）已知关于x的二次函数y=x2﹣mx+ 与y=x2﹣mx﹣ ,这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A,B两个不同的点．
（1）试判断哪个二次函数的图象经过A,B两点；
（2）若A点坐标为（﹣1,0）,试求B点坐标；
（3）在（2）的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x值的增大而减小．
21、（2006•凉山州）已知抛物线y=﹣ （x﹣1）2+2的部分图象（如图所示）,则图象再次与x轴相交时,交点的坐标是 _________ ．
22、（2006•莱芜）已知：关于x的二次函数y=﹣x2+（m+2）x﹣m．
（1）求证：不论m为任何实数,二次函数的图象的顶点P总是在x轴的上方；
（2）设二次函数图象与y轴交于A,过点A作x轴的平行线与图象交于另外一点B．若顶点P在第一象限,当m为何值时,△PAB是等边三角形．
23、（2006•荆州）已知y关于x的函数：y=（k﹣2）x2﹣2（k﹣1）x+k+1中满足k≤3．
（1）求证：此函数图象与x轴总有交点；
（2）当关于z的方程 有增根时,求上述函数图象与x轴的交点坐标．
24、（2006•崇左）已知二次函数y=mx2﹣mx+n的图象交x轴于A（x1,0）,B（x2,0）两点,x1＜x2,交y轴的负半轴于C点,且AB=5,AC⊥BC,求此二次函数的解析式．
25、（2005•嘉兴）已知函数y=x2﹣4x+1
（1）求函数的最小值；
（2）在给定坐标系中,画出函数的图象；
（3）设函数图象与x轴的交点为A（x1,0）、B（x2,0）,求x12+x22的值．
26、（2005•新疆）如果二次函数y=ax2+2x+c的图象的最高点是
M（x0,y0）,并且二次函数图象过点
P（1, ）,若x取x0±n（n=1,2,3…）时,相应的函数值为y0﹣ n2．
（1）求二次函数的解析式并画出图象；
（2）若二次函数图象与x轴的交点为A、B,求△PAB的面积．
27、（2005•乌鲁木齐）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点M（0,﹣3）,并与x轴交于点A（x1,0）、B（x2,0）两点,且x12+x22=10．试求这个二次函数的解析式．
28、（2005•苏州）已知二次函数y=2x2﹣mx﹣m2．
（1）求证：对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且A点坐标为（1,0）,求B点坐标．
29、（2005•北京）已知：关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2,并且抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别位于点（2,0）的两旁．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当|x1|+|x2|= 时,求a的值．
30、（2010•佛山）（1）请在坐标系中画出二次函数y=x2﹣2x的大致图象；
（2）根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2﹣2x=1的根在图上近似的表示出来（描点）；
（3）观察图象,直接写出方程x2﹣2x=1的根．（精确到0.1）
解答题
1、（2010•咸宁）已知二次函数y=x2+bx﹣c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m,0）,（﹣3m,0）（m≠0）．
（1）证明4c=3b2；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
2、（2010•十堰）已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．
（1）求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式；
（3）在直角坐标系xoy中,画出（2）中的函数图象,结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时,求b的取值范围．
3、（2010•南京）已知点A（1,1）在二次函数y=x2﹣2ax+b图象上．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点,求这个二次函数的图象的顶点坐标．
4、（2010•娄底）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标是（﹣2,0）,点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长（OC＜OB）是方程x2﹣10x+24=0的两个根．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式．
5、（2010•汕头）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为（﹣1,0）,与y轴的交点坐标为（0,3）．
（1）求出b,c的值,并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围．
6、（2009•肇庆）已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x2+px+q的顶点为M,且与x轴相交于A（x1,0）、B（x2,0）两点,求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式．
7、（2009•新疆）（1）用配方法把二次函数y=x2﹣4x+3变成y=（x﹣h）2+k的形成．
（2）在直角坐标系中画出y=x2﹣4x+3的图象．
（3）若A（x1,y1）,B（x2,y2）是函数y=x2﹣4x+3图象上的两点,且x1＜x2＜1,请比较y1,y2的大小关系．（直接写结果）
（4）把方程x2﹣4x+3=2的根在函数y=x2﹣4x+3的图象上表示出来．
8、（2009•黔东南州）已知二次函数y=x2+ax+a﹣2．
（1）求证：不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设a＜0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为 时,求出此二次函数的解析式；
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为 ,若存在求出P点坐标,若不存在请说明理由．
9、（2009•宁夏）如图,抛物线y=﹣ x2+ x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）证明△ABC为直角三角形；
（3）在抛物线上除C点外,是否还存在另外一个点P,使△ABP是直角三角形,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由．
10、（2009•梅州）如图,已知抛物线y=﹣ x2+ x+ 与x轴的两个交点为A、B,与y轴交于点C．
（1）求A,B,C三点的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若坐标平面内的点M,使得以点M和三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标．（直接写出点的坐标,不必写求解过程）
11、（2009•娄底）已知关于x的二次函数y=x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4．
（1）探究m满足什么条件时,二次函数y的图象与x轴的交点的个数；
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1,0）,B（x2,0）,且x12+x22=5,与y轴的交点为C,它的顶点为M,求直线CM的解析式．
12、（2009•黄石）已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）
（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点,求a的值；
（2）若函数的图象是抛物线,且顶点始终在x轴上方,求a的取值范围．
13、（2008•天津）已知抛物线y=3ax2+2bx+c,
（Ⅰ）若a=b=1,c=﹣1,求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1,且当﹣1＜x＜1时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围；
（Ⅲ）若a+b+c=0,且x1=0时,对应的y1＞0；x2=1时,对应的y2＞0,试判断当0＜x＜1时,抛物线与x轴是否有公共点?若有,请证明你的结论；若没有,阐述理由．
14、（2008•长春）已知两个关于x的二次函数y1与y2,y1=a（x﹣k）2+2（k＞0）,y1+y2=x2+6x+12；当x=k时,y2=17；且二次函数y2的图象的对称轴是直线x=﹣1．
（1）求k的值；
（2）求函数y1,y2的表达式；
（3）在同一直角坐标系内,问函数y1的图象与y2的图象是否有交点?请说明理由．
15、（2008•北京）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1＜x2）．若y是关于m的函数,且y=x2﹣2x1,求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下,结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时,y≤2m．
16、（2007•天津）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=x有两个实数根x1,x2,且满足x1＞0,x2﹣x1＞1．
（1）试证明c＞0；
（2）证明b2＞2（b+2c）；
（3）对于二次函数y=x2+bx+c,若自变量取值为x0,其对应的函数值为y0,则当0＜x0＜x1时,试比较y0与x1的大小．
17、（2007•宁夏）二次函数y=ax2+bx+c中,自变量x与函数y的对应值如下表：
x﹣1﹣ 0 1 2 3
y﹣2﹣ 1 2 1﹣ ﹣2
（1）判断二次函数图象的开口方向,并写出它的顶点坐标．
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c是常数）的两个根x1,x2的取值范围是下列选项中的哪一个 _________ ．
①
②
③
④ ．
18、（2007•茂名）已知函数y=x2+2x+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别是x1,x2,且x12+x22=c2﹣2c,求c及x1,x2的值．
19、（2007•贵阳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围．
20、（2006•淄博）已知关于x的二次函数y=x2﹣mx+ 与y=x2﹣mx﹣ ,这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A,B两个不同的点．
（1）试判断哪个二次函数的图象经过A,B两点；
（2）若A点坐标为（﹣1,0）,试求B点坐标；
（3）在（2）的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x值的增大而减小．
21、（2006•凉山州）已知抛物线y=﹣ （x﹣1）2+2的部分图象（如图所示）,则图象再次与x轴相交时,交点的坐标是 _________ ．
22、（2006•莱芜）已知：关于x的二次函数y=﹣x2+（m+2）x﹣m．
（1）求证：不论m为任何实数,二次函数的图象的顶点P总是在x轴的上方；
（2）设二次函数图象与y轴交于A,过点A作x轴的平行线与图象交于另外一点B．若顶点P在第一象限,当m为何值时,△PAB是等边三角形．
23、（2006•荆州）已知y关于x的函数：y=（k﹣2）x2﹣2（k﹣1）x+k+1中满足k≤3．
（1）求证：此函数图象与x轴总有交点；
（2）当关于z的方程 有增根时,求上述函数图象与x轴的交点坐标．
24、（2006•崇左）已知二次函数y=mx2﹣mx+n的图象交x轴于A（x1,0）,B（x2,0）两点,x1＜x2,交y轴的负半轴于C点,且AB=5,AC⊥BC,求此二次函数的解析式．
25、（2005•嘉兴）已知函数y=x2﹣4x+1
（1）求函数的最小值；
（2）在给定坐标系中,画出函数的图象；
（3）设函数图象与x轴的交点为A（x1,0）、B（x2,0）,求x12+x22的值．
26、（2005•新疆）如果二次函数y=ax2+2x+c的图象的最高点是
M（x0,y0）,并且二次函数图象过点
P（1, ）,若x取x0±n（n=1,2,3…）时,相应的函数值为y0﹣ n2．
（1）求二次函数的解析式并画出图象；
（2）若二次函数图象与x轴的交点为A、B,求△PAB的面积．
27、（2005•乌鲁木齐）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点M（0,﹣3）,并与x轴交于点A（x1,0）、B（x2,0）两点,且x12+x22=10．试求这个二次函数的解析式．
28、（2005•苏州）已知二次函数y=2x2﹣mx﹣m2．
（1）求证：对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且A点坐标为（1,0）,求B点坐标．
29、（2005•北京）已知：关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2,并且抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别位于点（2,0）的两旁．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当|x1|+|x2|= 时,求a的值．
30、（2010•佛山）（1）请在坐标系中画出二次函数y=x2﹣2x的大致图象；
（2）根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2﹣2x=1的根在图上近似的表示出来（描点）；
（3）观察图象,直接写出方程x2﹣2x=1的根．（精确到0.1）