综合与实践:折纸中的数学问题情境:数学活动课上,老师让同学们折叠正方形纸片ABCD进行探究活动,兴趣小组的同学经过动手操作探究,提出了如下两个问题:问题1:如图(1),若点E为BC的中点,设AE将正方形纸片ABCD折叠,点B的对应点为B′,连接B′C,求证:B′C∥AE.问题2:如图(2),若点E,点F分别为边BC,边AD的中点,沿AE、CF将正方形纸片ABCD折叠,点B的对应点为B′,点D的对应点D′,D′F与AB′交于点H,B′E与CD′交于点G,求证:四边形D′GB′H为矩形.(1)解决问题:请你对
2019-06-02
综合与实践:折纸中的数学
问题情境:数学活动课上,老师让同学们折叠正方形纸片ABCD进行探究活动,兴趣小组的同学经过动手操作探究,提出了如下两个问题:
问题1:如图(1),若点E为BC的中点,设AE将正方形纸片ABCD折叠,点B的对应点为B′,连接B′C,求证:B′C∥AE.
问题2:如图(2),若点E,点F分别为边BC,边AD的中点,沿AE、CF将正方形纸片ABCD折叠,点B的对应点为B′,点D的对应点D′,D′F与AB′交于点H,B′E与CD′交于点G,求证:四边形D′GB′H为矩形.
(1)解决问题:请你对兴趣小组提出的两个问题进行证明.
(2)拓展探究:解决完兴趣小组提出的两个问题后,实践小组的同学们进行如下实践操作:
如图(3),点E,点F分别为BC、AD上的点,将正方形纸片沿AE、CF折叠,使得点B落在对角线上的点B′处,点D落在对角线AC上的点D′处,AE与对角线BD的交点为M,CF与对角线BD的交点为N,分别连接MB′,B′N,D′N,D′M.他们认为四边形MB′ND′为正方形.
实践小组的同学们发现的结论是否正确?请你说明理由.
优质解答
(1)问题1:证明:如图1中,
∵△ABE和△AB′E关于AE对称,
∴∠AEB=∠AEB′,BE=B′E,
∵BE=EC,
∴B′E=EC,
∴∠EB′C=∠ECB′,
∵∠BEB′=∠EB′C+∠ECB′,
∴∠AEB=∠B′CE,
∴AE∥B′C,
问题2:证明:如图2中,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°,
∵BE=DF,
∴△ABE≌△CDF,
∴∠BAE=∠DCF,
∵∠BAE=∠B′AE,∠DCF=∠D′CF,
∴∠BAB′=∠DCD′,
∵∠D=∠D′=90°,
∴∠D′FD+∠D′CD=180°,
∵∠AFD′+∠D′FD=180°,
∴∠AFD′=∠D′CD=∠BAB′,
∵∠B′AD+∠BAB′=90°,
∴∠AFD′+∠B′AF=90°,
∴∠AHF=∠B′HD′=90°,
∴四边形D′DB′H是矩形.
(2)拓展探究:实践小组的同学们发现的结论是正确的.
证明:如图3中,连接BB′、DD′,则BB′⊥AE,DD′⊥CF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB=OC=OD,AC⊥BD,
∴∠MAO+∠AMO=90°,∠OBB′+∠BME=90°,
∵∠AMO=∠BME,
∴∠MAO=∠OB′B,
∴△AMO≌△BB′O,
∴OM=OB′,同理ON=OD′,
∵∠BAM=∠DCN,∠ABM=∠CDN,AB=CD,
∴△BAM≌△DCN,
∴MB=DN.
∴OM=ON,
∴OM=OB′=ON=OD′,
∴四边形MB′ND′是矩形,
∴AC⊥BD,
∴四边形MB′ND′是正方形.
(1)问题1:证明:如图1中,
∵△ABE和△AB′E关于AE对称,
∴∠AEB=∠AEB′,BE=B′E,
∵BE=EC,
∴B′E=EC,
∴∠EB′C=∠ECB′,
∵∠BEB′=∠EB′C+∠ECB′,
∴∠AEB=∠B′CE,
∴AE∥B′C,
问题2:证明:如图2中,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°,
∵BE=DF,
∴△ABE≌△CDF,
∴∠BAE=∠DCF,
∵∠BAE=∠B′AE,∠DCF=∠D′CF,
∴∠BAB′=∠DCD′,
∵∠D=∠D′=90°,
∴∠D′FD+∠D′CD=180°,
∵∠AFD′+∠D′FD=180°,
∴∠AFD′=∠D′CD=∠BAB′,
∵∠B′AD+∠BAB′=90°,
∴∠AFD′+∠B′AF=90°,
∴∠AHF=∠B′HD′=90°,
∴四边形D′DB′H是矩形.
(2)拓展探究:实践小组的同学们发现的结论是正确的.
证明:如图3中,连接BB′、DD′,则BB′⊥AE,DD′⊥CF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB=OC=OD,AC⊥BD,
∴∠MAO+∠AMO=90°,∠OBB′+∠BME=90°,
∵∠AMO=∠BME,
∴∠MAO=∠OB′B,
∴△AMO≌△BB′O,
∴OM=OB′,同理ON=OD′,
∵∠BAM=∠DCN,∠ABM=∠CDN,AB=CD,
∴△BAM≌△DCN,
∴MB=DN.
∴OM=ON,
∴OM=OB′=ON=OD′,
∴四边形MB′ND′是矩形,
∴AC⊥BD,
∴四边形MB′ND′是正方形.