数学
数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：AP=CQ；（2）如图②，小明在图①的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并证明．（3）如图③，固定三角板直角顶点在D点不动，转到三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC的延长线

2019-06-02

数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：
如图①，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．作业帮
（1）求证：AP=CQ；
（2）如图②，小明在图①的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并证明．
（3）如图③，固定三角板直角顶点在D点不动，转到三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC的延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEQ的面积．
优质解答
证明（1）∵四边形ABCD正方形，
∴∠A=∠DCQ=∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ADP+∠PDC=90°，
∠CDQ+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，
∠A=∠DCQ
AD=CD
∠ADP=∠CDQ
，
∴△ADP≌△CDQ，
∴AP=CQ；
（2）∵DE平分∠PDQ，
∴∠PDE=∠EDQ，
∵△ADP≌△CDQ，
∴DP=DQ，
在△PDE和△QDE中，
DP=DQ
∠PDE=∠EDQ
DE=DE
，
∴△PDE≌△QDE，
∴PE=EQ；
（3）∵AB：AP=3：4，AB=6，
∴AP=8，则BP=2，作业帮
由勾股定理得，DP=10，
由（2）可知，CQ=AP=8，DQ=DP=10，
∵BP∥DC，
∴△PBH∽△DCH，
∴
BP
CD
=
BH
CH
=
PH
DH
，
∴DH=
15
2
，CH=
9
2
，则HQ=
25
2
，
∵DE是∠PDQ的平分线，
∴
HE
EQ
=
DH
DQ
，
∴
15
2
10
=
25
2
-EQ
EQ
，
∴EQ=
50
7
，
则△DEQ的面积=
1
2
×6×
50
7
=
150
7
． 证明（1）∵四边形ABCD正方形，
∴∠A=∠DCQ=∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ADP+∠PDC=90°，
∠CDQ+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，
∠A=∠DCQ
AD=CD
∠ADP=∠CDQ
，
∴△ADP≌△CDQ，
∴AP=CQ；
（2）∵DE平分∠PDQ，
∴∠PDE=∠EDQ，
∵△ADP≌△CDQ，
∴DP=DQ，
在△PDE和△QDE中，
DP=DQ
∠PDE=∠EDQ
DE=DE
，
∴△PDE≌△QDE，
∴PE=EQ；
（3）∵AB：AP=3：4，AB=6，
∴AP=8，则BP=2，作业帮
由勾股定理得，DP=10，
由（2）可知，CQ=AP=8，DQ=DP=10，
∵BP∥DC，
∴△PBH∽△DCH，
∴
BP
CD
=
BH
CH
=
PH
DH
，
∴DH=
15
2
，CH=
9
2
，则HQ=
25
2
，
∵DE是∠PDQ的平分线，
∴
HE
EQ
=
DH
DQ
，
∴
15
2
10
=
25
2
-EQ
EQ
，
∴EQ=
50
7
，
则△DEQ的面积=
1
2
×6×
50
7
=
150
7
．
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