一个数学证明题设x>-1,证明（1+x）的n次方大于或等于1+nx,n=1,2,3.
2019-05-27
一个数学证明题
设x>-1,证明（1+x）的n次方大于或等于1+nx,n=1,2,3.
优质解答
很多人用二项展开式做,当然也可以,但是要考虑到问这个问题的人,其实很多都记不住二项展开式公式.而且证明起来写的东西也多.
这题用数学归纳法更好证明：
当n=1时,命题是成立的；
假设n=k时,命题成立,然后只要证明n=k+1时,命题也成立就行了.
（1+x）的（k+1）次方
=（1+x）的k次方×（1+x）
=（1+x）的k次方+（1+x）的k次方×x
而1+（k+1）x=（1+kx）+x
因为（1+x）的k次方≥（1+kx）,而当x>-1时,（1+x）的k次方×x≥x
所以（1+x）的k次方+（1+x）的k次方×x≥（1+kx）+x
即（1+x）的（k+1）次方≥1+（k+1）x,即当n=k时,命题成立.
即原命题成立：（1+x）的n次方大于或等于1+nx
很多人用二项展开式做,当然也可以,但是要考虑到问这个问题的人,其实很多都记不住二项展开式公式.而且证明起来写的东西也多.
这题用数学归纳法更好证明：
当n=1时,命题是成立的；
假设n=k时,命题成立,然后只要证明n=k+1时,命题也成立就行了.
（1+x）的（k+1）次方
=（1+x）的k次方×（1+x）
=（1+x）的k次方+（1+x）的k次方×x
而1+（k+1）x=（1+kx）+x
因为（1+x）的k次方≥（1+kx）,而当x>-1时,（1+x）的k次方×x≥x
所以（1+x）的k次方+（1+x）的k次方×x≥（1+kx）+x
即（1+x）的（k+1）次方≥1+（k+1）x,即当n=k时,命题成立.
即原命题成立：（1+x）的n次方大于或等于1+nx