数学公式推导条件：P(1)=1;p(n)=(1-1/(n*n))*P(n-1)+2/n - 1/(n*n)可以推得：p(n)=2*(n+1)/n *(1/2+1/3+...+1/(n+1)) -1;这是书上的内容,可是我推不出来,我知道是数学归纳法，但是我推不出来，
2019-04-14
数学公式推导
条件：
P(1)=1;
p(n)=(1-1/(n*n))*P(n-1)+2/n - 1/(n*n)
可以推得：
p(n)=2*(n+1)/n *(1/2+1/3+...+1/(n+1)) -1;
这是书上的内容,可是我推不出来,
我知道是数学归纳法，但是我推不出来，
优质解答
用数学归纳法就行了
p(n-1)=2*n/(n-1)*(1/2+1/3+...+1/n)-1
p(n)=(n*n-1)*p(n-1)/(n*n)+2/n-1/(n*n)
=(n+1)(n-1)*[2n/(n-1)*(1/2+1/3+...+1/n)-1]/(n*n)+2/n-1/(n*n)
=2(n+1)/n*(1/2+1/3+...+1/n)-(n*n-1)/(n*n)+(2n-1)/(n*n)
=2(n+1)/n*(1/2+1/3+...+1/n)+(2n-n*n)/(n*n)
=2(n+1)/n*(1/2+1/3+...+1/n)+2/n-1
=2(n+1)/n*(1/2+1/3+...+1/n+1/(n+1))-1
归纳成立
用数学归纳法就行了
p(n-1)=2*n/(n-1)*(1/2+1/3+...+1/n)-1
p(n)=(n*n-1)*p(n-1)/(n*n)+2/n-1/(n*n)
=(n+1)(n-1)*[2n/(n-1)*(1/2+1/3+...+1/n)-1]/(n*n)+2/n-1/(n*n)
=2(n+1)/n*(1/2+1/3+...+1/n)-(n*n-1)/(n*n)+(2n-1)/(n*n)
=2(n+1)/n*(1/2+1/3+...+1/n)+(2n-n*n)/(n*n)
=2(n+1)/n*(1/2+1/3+...+1/n)+2/n-1
=2(n+1)/n*(1/2+1/3+...+1/n+1/(n+1))-1
归纳成立