数学
数学老师布置了这样一道作业题：在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，

2019-04-15

数学老师布置了这样一道作业题：
在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．
小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．
作业帮
（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；
（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；
（3）解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点D和点A在直线BC的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为___（直接写出结果）．
优质解答
（1）如图1
作业帮
作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°，
∵AB=AB，∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，
∴△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，
∵BD=BD′，BD=BC，
∴BD′=BC，
∴△D′BC是等边三角形，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，
∵AB=AC，AD'=AD'，
∴△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠AD′B=
1
2
∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°，
（2） 第一种情况：当60°<α≤120°时，
作业帮
如图2，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=
180°-α
2
=90°-
α
2
，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°-
α
2
-β，
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°-
α
2
-β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°-
α
2
-β+90°-
α
2
=180°-（α+β），
∵α+β=120°，
∴∠D′BC=60°，
以下同（1）可求得∠ADB=30°，
第二种情况：当0°<α<60°时，
如图3，
作业帮
作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC=
180°-α
2
=90°-
α
2
，
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=β-(90°-
α
2
)，
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=β-(90°-
α
2
)，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABC-∠ABD′=90°-
α
2
-[β-(90°-
α
2
)]=180°-(α+β)，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．
同（1）可证△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，
∴∠ADB=∠AD′B=150°，
（3）点D和点A在直线BC的异侧时，分三种情况讨论：
第一种情况：如图4，
作业帮
当120°<α<180°，β=60°时，连接CD，
∵∠DBC=β=60°，BD=BC，
∴△DBC是等边三角形，
∴BD=CD，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC=30°，
第二种情况：如图5，
作业帮
当120°<α<180°，0<β<60°时，连接CD′，
∠ABC=
180°-α
2
=90°-
α
2
，
∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°-
α
2
+β，
∵△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°-
α
2
+β，
∵∠ADB=∠AD′B=30°，
∴∠BD′C=60°，
∵BD′=CD′，
∴△BD′C是等边三角形，
∴∠CBD′=（90°-
α
2
+β）+（90°-
α
2
）=60°，
∴α-β=120°，
第三种情况：如图6，
作业帮
当0°<α<120°，β=60°时，连接CD，
与图4同理得：∠ADB=∠ADC=30°，
故答案为：0°<α<120°，β=60°或120°<α<180°，0<β<60°时，α-β=120°或120°<α<180°，β=60°． （1）如图1
作业帮
作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°，
∵AB=AB，∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，
∴△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，
∵BD=BD′，BD=BC，
∴BD′=BC，
∴△D′BC是等边三角形，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，
∵AB=AC，AD'=AD'，
∴△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠AD′B=
1
2
∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°，
（2） 第一种情况：当60°<α≤120°时，
作业帮
如图2，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=
180°-α
2
=90°-
α
2
，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°-
α
2
-β，
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°-
α
2
-β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°-
α
2
-β+90°-
α
2
=180°-（α+β），
∵α+β=120°，
∴∠D′BC=60°，
以下同（1）可求得∠ADB=30°，
第二种情况：当0°<α<60°时，
如图3，
作业帮
作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC=
180°-α
2
=90°-
α
2
，
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=β-(90°-
α
2
)，
同（1）可证△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=β-(90°-
α
2
)，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABC-∠ABD′=90°-
α
2
-[β-(90°-
α
2
)]=180°-(α+β)，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．
同（1）可证△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，
∴∠ADB=∠AD′B=150°，
（3）点D和点A在直线BC的异侧时，分三种情况讨论：
第一种情况：如图4，
作业帮
当120°<α<180°，β=60°时，连接CD，
∵∠DBC=β=60°，BD=BC，
∴△DBC是等边三角形，
∴BD=CD，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC=30°，
第二种情况：如图5，
作业帮
当120°<α<180°，0<β<60°时，连接CD′，
∠ABC=
180°-α
2
=90°-
α
2
，
∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°-
α
2
+β，
∵△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°-
α
2
+β，
∵∠ADB=∠AD′B=30°，
∴∠BD′C=60°，
∵BD′=CD′，
∴△BD′C是等边三角形，
∴∠CBD′=（90°-
α
2
+β）+（90°-
α
2
）=60°，
∴α-β=120°，
第三种情况：如图6，
作业帮
当0°<α<120°，β=60°时，连接CD，
与图4同理得：∠ADB=∠ADC=30°，
故答案为：0°<α<120°，β=60°或120°<α<180°，0<β<60°时，α-β=120°或120°<α<180°，β=60°．
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