涉及到使用零点定理的一道高数证明题,设f(x)在[a,b]上连续,f(a)=f(b),证明,存在Xo属于(a,b),使得f(Xo)=f(Xo+(b-a)/2)
2019-05-22
涉及到使用零点定理的一道高数证明题,
设f(x)在[a,b]上连续,f(a)=f(b),证明,存在Xo属于(a,b),使得f(Xo)=f(Xo+(b-a)/2)
优质解答
设F(x)＝f(x)－f(x+(b-a)/2),x属于[a,(a+b)/2]
那么
F（a）+F（(a+b)/2)=f(a)-f((a+b)/2）+f((a+b)/2）-f（b）=f(a)-f(b)=0
所以F（a）=F（(a+b)/2 )=0 or 一正一负
1、
F（a）=F（(a+b)/2 )=0
那么取x0=(a+b)/2,显然有f((a+b)/2)=f((a+b)/2+(b-a)/2)=f（b）
2、一正一负
那么由零点定理,必存在一个x0,x0 在(a,(a+b)/2)中,使得F（x0）=0
也就是f(Xo)=f(Xo+(b-a)/2)
设F(x)＝f(x)－f(x+(b-a)/2),x属于[a,(a+b)/2]
那么
F（a）+F（(a+b)/2)=f(a)-f((a+b)/2）+f((a+b)/2）-f（b）=f(a)-f(b)=0
所以F（a）=F（(a+b)/2 )=0 or 一正一负
1、
F（a）=F（(a+b)/2 )=0
那么取x0=(a+b)/2,显然有f((a+b)/2)=f((a+b)/2+(b-a)/2)=f（b）
2、一正一负
那么由零点定理,必存在一个x0,x0 在(a,(a+b)/2)中,使得F（x0）=0
也就是f(Xo)=f(Xo+(b-a)/2)