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非齐次线性方程组Ax=b中未知数的个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（　　）A．r=m时，方程组Ax=b有解B．r=n时，方程组Ax=b有唯一解C．m=n时，方程组Ax=b有唯一解D．r＜n时，方程组Ax=b有无穷多解

2019-04-12

非齐次线性方程组Ax=b中未知数的个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（　　）

A．r=m时，方程组Ax=b有解
B．r=n时，方程组Ax=b有唯一解
C．m=n时，方程组Ax=b有唯一解
D．r＜n时，方程组Ax=b有无穷多解
优质解答
解；
∵线性方程组Ax=b有解⇔r（A）=r（Ab），
并且由题知A是m行n列的矩阵，
①对于选项A．
若r（A）=m，
则A是一个行满秩矩阵，
因此在A的每一行后面添加一个分量，得到矩阵（A b）的m个行向量，并不会改变它的秩，即r（A b）=m，
从而：r（A）=r（A b）=m，
故当r=m时，方程组Ax=b有解，
∴选项A正确．
②对于选项B．
如：A＝
10
01
11
，(A  b)＝
100
010
111
   
，
显然 r（A）=2（未知数个数），但r（A）＜r（A b）=3，此时方程组无解，
∴选项B错误．
③对于选项C．
如：A＝
11
22
，(A  b)＝
111
222
，
显然r（A）=r（A b）=1＜2，此时Ax=b有无穷多解，
∴选项C错误．
④对于选项D．
如：A＝
11
22
，(A  b)＝
111
221
，
显然r（A）=1＜r（A b）=2，此时Ax=b无解，
∴选项D错误．
故选：A． 解；
∵线性方程组Ax=b有解⇔r（A）=r（Ab），
并且由题知A是m行n列的矩阵，
①对于选项A．
若r（A）=m，
则A是一个行满秩矩阵，
因此在A的每一行后面添加一个分量，得到矩阵（A b）的m个行向量，并不会改变它的秩，即r（A b）=m，
从而：r（A）=r（A b）=m，
故当r=m时，方程组Ax=b有解，
∴选项A正确．
②对于选项B．
如：A＝
10
01
11
，(A  b)＝
100
010
111
   
，
显然 r（A）=2（未知数个数），但r（A）＜r（A b）=3，此时方程组无解，
∴选项B错误．
③对于选项C．
如：A＝
11
22
，(A  b)＝
111
222
，
显然r（A）=r（A b）=1＜2，此时Ax=b有无穷多解，
∴选项C错误．
④对于选项D．
如：A＝
11
22
，(A  b)＝
111
221
，
显然r（A）=1＜r（A b）=2，此时Ax=b无解，
∴选项D错误．
故选：A．
相关标签： 个数 方程 系数 矩阵 方程组 唯一 无穷
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