万恶的数学问题!两条!拜托大家了!1、（7^2+1）/（7^2-1）+（9^2+1）/（9^2-1）+……+（99^2+1）/（99^2-1）=?2、1+1/1+2+1/1+2+3+.+1/1+2+3+……+20=?一楼的不要乱复制人家的东西啊！
2019-05-23
万恶的数学问题!两条!
拜托大家了!
1、（7^2+1）/（7^2-1）+（9^2+1）/（9^2-1）+……+（99^2+1）/（99^2-1）=?
2、1+1/1+2+1/1+2+3+.+1/1+2+3+……+20=?
一楼的不要乱复制人家的东西啊！
优质解答
1)
（7^2+1）/（7^2-1）+（9^2+1）/（9^2-1）+……+（99^2+1）/（99^2-1）
=1+2/(7^2-1)+1+2/(9^2-1)+.+1+2/(99^2-1)
=1*((99-5)/2)+2(1/(7^2-1)+1/(9^2-1)+.+1/(99^2-1))
=47+2(1/(7^2-1)+1/(9^2-1)+.+1/(99^2-1))
又 1/((2N+1)^2-1)=1/(4N^2-4N)=1/(4N(N-1))=(1/4)*(1/(N-1)-1/N)
所以1/(7^2-1)=(1/4)(1/3-1/4)
1/(9^2-1)=(1/4)(1/4-1/5)
.
1/(99^2-1)=(1/4)=(1/49-1/50)
所以2(1/(7^2-1)+1/(9^2-1)+.+1/(99^2-1))
=2*(1/4)(1/3-1/4+1/4-1/5+.+1/49-1/50)=(1/2)*(1/3-1/50)
所以原式=47+(1/2)(1/3-1/50)=47*(1+1/300)
2).1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+.+1/(1+2+3.+20)
因为 1/(1+2+.N)=1/(N*(N+1)/2)=2/(N*(N+1))=2(1/N-1/(N+1)
N=1时 1=2*(1-1/2)
N=2时 1/(1+2)=2*(1/2-1/3)
...
N=20时 1/(1+2+.+20)=2*(1/20-1/21)
所以原式=2*(1-1/2+1/2-1/3+.+1/20-1/21)
=2*(1-1/21)=40/21
1)
（7^2+1）/（7^2-1）+（9^2+1）/（9^2-1）+……+（99^2+1）/（99^2-1）
=1+2/(7^2-1)+1+2/(9^2-1)+.+1+2/(99^2-1)
=1*((99-5)/2)+2(1/(7^2-1)+1/(9^2-1)+.+1/(99^2-1))
=47+2(1/(7^2-1)+1/(9^2-1)+.+1/(99^2-1))
又 1/((2N+1)^2-1)=1/(4N^2-4N)=1/(4N(N-1))=(1/4)*(1/(N-1)-1/N)
所以1/(7^2-1)=(1/4)(1/3-1/4)
1/(9^2-1)=(1/4)(1/4-1/5)
.
1/(99^2-1)=(1/4)=(1/49-1/50)
所以2(1/(7^2-1)+1/(9^2-1)+.+1/(99^2-1))
=2*(1/4)(1/3-1/4+1/4-1/5+.+1/49-1/50)=(1/2)*(1/3-1/50)
所以原式=47+(1/2)(1/3-1/50)=47*(1+1/300)
2).1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+.+1/(1+2+3.+20)
因为 1/(1+2+.N)=1/(N*(N+1)/2)=2/(N*(N+1))=2(1/N-1/(N+1)
N=1时 1=2*(1-1/2)
N=2时 1/(1+2)=2*(1/2-1/3)
...
N=20时 1/(1+2+.+20)=2*(1/20-1/21)
所以原式=2*(1-1/2+1/2-1/3+.+1/20-1/21)
=2*(1-1/21)=40/21