设f(x)在负无穷到正无穷上可导,证明:如果f(x)是奇函数,则其导数是偶函数
2019-06-02
设f(x)在负无穷到正无穷上可导,证明:如果f(x)是奇函数,则其导数是偶函数
优质解答
f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x)
f'(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
f'(-x)=lim(Δx→0)[f(-x+Δx)-f(-x)]/Δx=lim(Δx→0)[-f(x-Δx)+f(x)]/Δx=lim(-Δx→0)[f(x-Δx)-f(x)]/(-Δx)
f'(-x)=f'(x),所以f'(x)是偶函数
f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x)
f'(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
f'(-x)=lim(Δx→0)[f(-x+Δx)-f(-x)]/Δx=lim(Δx→0)[-f(x-Δx)+f(x)]/Δx=lim(-Δx→0)[f(x-Δx)-f(x)]/(-Δx)
f'(-x)=f'(x),所以f'(x)是偶函数