数学
高中数学椭圆已知点P(1,3)和圆O:x^2+y^2=3,过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A、B,在线段AB上取一点Q,满足向量AP=-k*向量PB,向量AQ=k*向量QB(K不等于0、±1),求证:点Q总在某定直线上过程请尽量详细

2019-06-25

高中数学椭圆
已知点P(1,3)和圆O:x^2+y^2=3,过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A、B,在线段AB上取一点Q,满足向量AP=-k*向量PB,向量AQ=k*向量QB(K不等于0、±1),求证:点Q总在某定直线上
过程请尽量详细
优质解答
设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),
由AP=-λ
PB可得:(1-x1,3-y1)=-λ(x2-1,y2-3),即x1-λx2=1-λ ⑤y1-λy2=3(1-λ) ⑥​
由AQ=λ
QB可得:(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),即x1+λx2=(1+λ)x ⑦y1+λy2=(1+λ)y ⑧​
⑤×⑦得:x12-λ2x22=(1-λ2)x,⑥×⑧得:y12-λ2y22=3y(1-λ2)
两式相加得(x12+y12)-λ2(x22+y22)=(1-λ2)(x+3y)
又点A,B在圆x2+y2=3上,且λ≠±1,所以x12+y12=3,x22+y22=3
即x+3y=3,∴点Q总在定直线x+3y=3上.
设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),
由AP=-λ
PB可得:(1-x1,3-y1)=-λ(x2-1,y2-3),即x1-λx2=1-λ ⑤y1-λy2=3(1-λ) ⑥​
由AQ=λ
QB可得:(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),即x1+λx2=(1+λ)x ⑦y1+λy2=(1+λ)y ⑧​
⑤×⑦得:x12-λ2x22=(1-λ2)x,⑥×⑧得:y12-λ2y22=3y(1-λ2)
两式相加得(x12+y12)-λ2(x22+y22)=(1-λ2)(x+3y)
又点A,B在圆x2+y2=3上,且λ≠±1,所以x12+y12=3,x22+y22=3
即x+3y=3,∴点Q总在定直线x+3y=3上.
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