高中数学椭圆已知点P(1,3)和圆O:x^2+y^2=3,过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A、B,在线段AB上取一点Q,满足向量AP=-k*向量PB,向量AQ=k*向量QB(K不等于0、±1),求证：点Q总在某定直线上过程请尽量详细
2019-06-25
高中数学椭圆
已知点P(1,3)和圆O:x^2+y^2=3,过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A、B,在线段AB上取一点Q,满足向量AP=-k*向量PB,向量AQ=k*向量QB(K不等于0、±1),求证：点Q总在某定直线上
过程请尽量详细
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设A（x1,y1）,B（x2,y2）,Q（x,y）,
由AP=-λ
PB可得：（1-x1,3-y1）=-λ（x2-1,y2-3）,即x1-λx2=1-λ ⑤y1-λy2=3(1-λ) ⑥
由AQ=λ
QB可得：（x-x1,y-y1）=λ（x2-x,y2-y）,即x1+λx2=(1+λ)x ⑦y1+λy2=(1+λ)y ⑧
⑤×⑦得：x12-λ2x22=（1-λ2）x,⑥×⑧得：y12-λ2y22=3y（1-λ2）
两式相加得（x12+y12）-λ2（x22+y22）=（1-λ2）（x+3y）
又点A,B在圆x2+y2=3上,且λ≠±1,所以x12+y12=3,x22+y22=3
即x+3y=3,∴点Q总在定直线x+3y=3上．
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,Q（x,y）,
由AP=-λ
PB可得：（1-x1,3-y1）=-λ（x2-1,y2-3）,即x1-λx2=1-λ ⑤y1-λy2=3(1-λ) ⑥
由AQ=λ
QB可得：（x-x1,y-y1）=λ（x2-x,y2-y）,即x1+λx2=(1+λ)x ⑦y1+λy2=(1+λ)y ⑧
⑤×⑦得：x12-λ2x22=（1-λ2）x,⑥×⑧得：y12-λ2y22=3y（1-λ2）
两式相加得（x12+y12）-λ2（x22+y22）=（1-λ2）（x+3y）
又点A,B在圆x2+y2=3上,且λ≠±1,所以x12+y12=3,x22+y22=3
即x+3y=3,∴点Q总在定直线x+3y=3上．