设f(x)是定义在R上的单调增函数,证明集合{x:对任意的e>0,f(x+e)>f(x实变函数和泛函分析基础第三版第二章课后习题最后一题,
2019-05-23
设f(x)是定义在R上的单调增函数,证明集合{x:对任意的e>0,f(x+e)>f(x
实变函数和泛函分析基础第三版第二章课后习题最后一题,
优质解答
证明如下,要证明这个是闭集,即要证明{x:存在e>0,f(x+e)0使得,f(x0+e)=f(x0-e),
而f（x）是R上的单调增函数,所以存在c＝e/2,
当任意的x属于(x0-c,x0+c)时,f(x+c)=f(x-c).
也就是说x0的c邻域属于要证明的集合,即证
证明如下,要证明这个是闭集,即要证明{x:存在e>0,f(x+e)0使得,f(x0+e)=f(x0-e),
而f（x）是R上的单调增函数,所以存在c＝e/2,
当任意的x属于(x0-c,x0+c)时,f(x+c)=f(x-c).
也就是说x0的c邻域属于要证明的集合,即证