(1) e^x > ex (x>1)
证明：设f(x)=e^x ,则f(x)在区间[1,x]上连续,在区间(1,x)内可导,
由拉格朗日中值定理,存在c∈(1,x),使f(x) - f(1)=f '(c)(x -1),即e^x -e=e^c(x -1) ,
因为c>1,所以e^x -e=e^c(x -1)>e(x -1),即e^x >ex.证毕.
(2) b - a > 1/a -1/b (b>a>1)
证明：设f(x)=1/x ,则f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,
由拉格朗日中值定理,存在c∈(a,b),使f(b) - f(a)=f '(c)(b -a),即1/b -1/a = -c^(-2)(b -a),
因为c>a>1,所以1/b -1/a = -c^(-2)(b -a)1/a -1/b中右边通分得1/a -1/b=(b - a)/ab
所以不等式(2)即 1>1/ab,即 ab>1,显然成立. (1) e^x > ex (x>1)
证明：设f(x)=e^x ,则f(x)在区间[1,x]上连续,在区间(1,x)内可导,
由拉格朗日中值定理,存在c∈(1,x),使f(x) - f(1)=f '(c)(x -1),即e^x -e=e^c(x -1) ,
因为c>1,所以e^x -e=e^c(x -1)>e(x -1),即e^x >ex.证毕.
(2) b - a > 1/a -1/b (b>a>1)
证明：设f(x)=1/x ,则f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,
由拉格朗日中值定理,存在c∈(a,b),使f(b) - f(a)=f '(c)(b -a),即1/b -1/a = -c^(-2)(b -a),
因为c>a>1,所以1/b -1/a = -c^(-2)(b -a)1/a -1/b中右边通分得1/a -1/b=(b - a)/ab
所以不等式(2)即 1>1/ab,即 ab>1,显然成立.