(1)
如果你知道凸函数不等式,这个题就等价于：
[x^(2n)+y^(2n)]/2≥[(x+y)/2]^(2n)
只要证明：f(x)=x^(2n)是下凸函数就可以了
f''(x)=2n(2n-1)x^(2n-2)>0 显然成立
如果不用凸函数,就数学归纳法:
首先n=1时,x^2+y^2≥[(x+y)^2]/2=1/2=0.5^(2*1-1)
假设n=k时,x^(2k)+y^(2k)≥0.5^(2k-1)
上式与x^2+y^2≥0.5相乘得：
[x^(2k)+y^(2k)](x^2+y^2)≥0.5^(2k)
左边展开：x^(2k+2)+y^(2k+2)+x^(2k)y^2+y^(2k)x^2≥0.5^(2k)……①
注意到：[x^(2k)-y^(2k)](x^2-y^2)≥0
左边展开：x^(2k+2)+y^(2k+2)-x^(2k)y^2-y^(2k)x^2≥0……②
①+②得：2[x^(2k+2)+y^(2k+2)]≥0.5^(2k)
即：x^[2(k+1)]+y^[2(k+1)]≥0.5^(2k+1)=0.5^[2(k+1)-1]
∴命题对于n=k+1成立!
不等式得证.
(2)
这个题很容易哈,直接用3元的平均值不等式：
a/x+b/y+c/z≥3(abc/xyz)^(1/3)=3 (1)
如果你知道凸函数不等式,这个题就等价于：
[x^(2n)+y^(2n)]/2≥[(x+y)/2]^(2n)
只要证明：f(x)=x^(2n)是下凸函数就可以了
f''(x)=2n(2n-1)x^(2n-2)>0 显然成立
如果不用凸函数,就数学归纳法:
首先n=1时,x^2+y^2≥[(x+y)^2]/2=1/2=0.5^(2*1-1)
假设n=k时,x^(2k)+y^(2k)≥0.5^(2k-1)
上式与x^2+y^2≥0.5相乘得：
[x^(2k)+y^(2k)](x^2+y^2)≥0.5^(2k)
左边展开：x^(2k+2)+y^(2k+2)+x^(2k)y^2+y^(2k)x^2≥0.5^(2k)……①
注意到：[x^(2k)-y^(2k)](x^2-y^2)≥0
左边展开：x^(2k+2)+y^(2k+2)-x^(2k)y^2-y^(2k)x^2≥0……②
①+②得：2[x^(2k+2)+y^(2k+2)]≥0.5^(2k)
即：x^[2(k+1)]+y^[2(k+1)]≥0.5^(2k+1)=0.5^[2(k+1)-1]
∴命题对于n=k+1成立!
不等式得证.
(2)
这个题很容易哈,直接用3元的平均值不等式：
a/x+b/y+c/z≥3(abc/xyz)^(1/3)=3