证明：1.∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∴∠ACD=∠BCE=45°,∠ADC=∠BEC=90°,AD=CD,CE=BE,∴∠DCE=90°=∠ADC=∠BEC
再加上∠CME=∠DMA,∠CND=∠ENB,∴△CME∽△DMA,△CND∽△ENB
于是AM/EM=AD/EC,CN/NE=DC/BE,又EC=BE,AD=DC,∴AM/EM=CN/NE,即EA/EM=EC/EN,再加上∠AEC=∠MEN,∴△AEC∽△MEN,∴∠EMN=∠EAC,∴MN//AB
2.同理可证△BCD∽△NMD,所以MN/AC=EM/EA,MN/CB=DM/DC
而∵△CME∽△DMA,∴DM/MC=AM/ME,即DM/(DM+MC)=AM/(AM+ME),即DM/DC=AM/AE
∴MN/AC+MN/CB=EM/EA+AM/AE=(AM+EM)/AE=1,∴1/MN=1/AC+1/BC
3.由2知1/MN=(AC+BC)/(AC×BC)=AB/(AC×BC),∴MN=AC×BC/AB=AC×(AB-AC)/AB
设AB=1(即取AB的长为一个单位长度),AC=x,则MN=x(1-x)=-x²+x=-(x-1/2)²+1/4(这一步是配方,二次函数里的,你应该学过吧)≤1/4
于是MN小于等于四分之一倍的AB 证明：1.∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∴∠ACD=∠BCE=45°,∠ADC=∠BEC=90°,AD=CD,CE=BE,∴∠DCE=90°=∠ADC=∠BEC
再加上∠CME=∠DMA,∠CND=∠ENB,∴△CME∽△DMA,△CND∽△ENB
于是AM/EM=AD/EC,CN/NE=DC/BE,又EC=BE,AD=DC,∴AM/EM=CN/NE,即EA/EM=EC/EN,再加上∠AEC=∠MEN,∴△AEC∽△MEN,∴∠EMN=∠EAC,∴MN//AB
2.同理可证△BCD∽△NMD,所以MN/AC=EM/EA,MN/CB=DM/DC
而∵△CME∽△DMA,∴DM/MC=AM/ME,即DM/(DM+MC)=AM/(AM+ME),即DM/DC=AM/AE
∴MN/AC+MN/CB=EM/EA+AM/AE=(AM+EM)/AE=1,∴1/MN=1/AC+1/BC
3.由2知1/MN=(AC+BC)/(AC×BC)=AB/(AC×BC),∴MN=AC×BC/AB=AC×(AB-AC)/AB
设AB=1(即取AB的长为一个单位长度),AC=x,则MN=x(1-x)=-x²+x=-(x-1/2)²+1/4(这一步是配方,二次函数里的,你应该学过吧)≤1/4
于是MN小于等于四分之一倍的AB