联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．举例：如图1，若PD=PE，则点P为△ABC的准内心．应用：如图2，BF为等边三角形的角平分线，准内心P在BF上，且PF=12BP，求证：点P是△ABC的内心．探究：已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，准内心P在AC上，若PC=12AP，求∠A的度数．

2019-06-02

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联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念．
定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．
举例：如图1，若PD=PE，则点P为△ABC的准内心．
应用：如图2，BF为等边三角形的角平分线，准内心P在BF上，且PF=

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BP，求证：点P是△ABC的内心．
探究：已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，准内心P在AC上，若PC=

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AP，求∠A的度数．
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优质解答

应用：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BF为角平分线，
∴∠PBE=30°，
∴PE=

1

2

PB，
∵BF是等边△ABC的角平分线，
∴BF⊥AC，
∵PF=

1

2

BF，
∴PE=PD=PF，
∴P是△ABC的内心；
探究：根据题意得：
PD=PC=

1

2

AP，
∵SinA=

PD

AP

=

1

2

AP

=

1

2

，
∴∠A是锐角，
∴∠A=30°．应用：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BF为角平分线，
∴∠PBE=30°，
∴PE=

1

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PB，
∵BF是等边△ABC的角平分线，
∴BF⊥AC，
∵PF=

1

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BF，
∴PE=PD=PF，
∴P是△ABC的内心；
探究：根据题意得：
PD=PC=

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AP，
∵SinA=

PD

AP

=

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AP

=

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∴∠A是锐角，
∴∠A=30°．