抽象代数定理：设M是一个有代数运算的集合,则M的全体自同构关于变换的乘法作成一个群.证：设是M的任意两个自同构,则对M中任二元素a,b有δτ(ab) =δ [τ(ab)] =δ [τ(a)τ(b)]=δτ(a).δτ(b),即乘积 也是M的一个自同构.又因对M中任意元素x有 δ(δ^(-1)(x))=(δ^(-1)δ)(x)=x故δ^(-1)(ab) =δ^(-1)[δδ^(-1)(a)δδ^(-1)(b)] =δ^(-1) [δ(δ^(-1)(a)δ^(-1)(b)] = δ^(-1)(a)δ^(-1)
2019-05-07
抽象代数定理：设M是一个有代数运算的集合,则M的全体自同构关于变换的乘法作成一个群.
证：设是M的任意两个自同构,则对M中任二元素a,b有
δτ(ab) =δ [τ(ab)] =δ [τ(a)τ(b)]=δτ(a).δτ(b),
即乘积 也是M的一个自同构.
又因对M中任意元素x有 δ(δ^(-1)(x))=(δ^(-1)δ)(x)=x
故
δ^(-1)(ab) =δ^(-1)[δδ^(-1)(a)δδ^(-1)(b)] =δ^(-1) [δ(δ^(-1)(a)δ^(-1)(b)] = δ^(-1)(a)δ^(-1)(b),
即也是M的自同构.因此,M的全体自同构作成M上的对称群S(M).
（证毕）
怎么理解“ 也是M的一个自同构.” Thank you!
优质解答
要证u是M的一个自同构 只要证
A:u:M->M 是双射
B:u(a)u(b)=u(ab)
由于两个双射的复合和双射的逆都是双射 故A是显然的
题中详细证的是B
证明了δτ(ab)=δτ(a).δτ(b) 就可以说δτ是M的一个自同构
证明了δ^(-1)(ab)= δ^(-1)(a)δ^(-1)(b) 就可以说δ^(-1)是M的一个自同构
所以说“也是M的一个自同构”
要证u是M的一个自同构 只要证
A:u:M->M 是双射
B:u(a)u(b)=u(ab)
由于两个双射的复合和双射的逆都是双射 故A是显然的
题中详细证的是B
证明了δτ(ab)=δτ(a).δτ(b) 就可以说δτ是M的一个自同构
证明了δ^(-1)(ab)= δ^(-1)(a)δ^(-1)(b) 就可以说δ^(-1)是M的一个自同构
所以说“也是M的一个自同构”