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高中数学 设二次函数f(X)=ax²+bx+c(a,b,c属于R)满足f(-1)=0,且全称量词x属于R均有x-1≤fx()≤x²-3x+3恒成立。求f(x)表达式

2019-05-30

高中数学 设二次函数f(X)=ax²+bx+c(a,b,c属于R)
满足f(-1)=0,且全称量词x属于R均有x-1≤fx()≤x²-3x+3恒成立。求f(x)表达式
优质解答
思路
解f(-1)=0
得a-b+c=0
即b=a+c..............................(1)
又由x-1≤f(x)≤x²-3x+3
当x=2时,
1≤f(2)≤1
即f(2)=1
则f(2)=4a+2b+c=1...........(2)
由(1),(2)
得a=(1-3b)/3,b=b,c=2b-1/3
则f(x)=(1-3b)/3x^2+bx+(2b-1/3)
又由x-1≤f(x)
得(1-3b)/3x^2+bx+(2b-1/3)≥x-1
得(1-3b)/3x^2+(b-1)x+(2b+2/3)≥0
则(1-3b)/3>0且Δ≤0
即b<1/3且(b-1)^2-4×(1-3b)/3×(2b+2/3)≤0
解得b即可
思路
解f(-1)=0
得a-b+c=0
即b=a+c..............................(1)
又由x-1≤f(x)≤x²-3x+3
当x=2时,
1≤f(2)≤1
即f(2)=1
则f(2)=4a+2b+c=1...........(2)
由(1),(2)
得a=(1-3b)/3,b=b,c=2b-1/3
则f(x)=(1-3b)/3x^2+bx+(2b-1/3)
又由x-1≤f(x)
得(1-3b)/3x^2+bx+(2b-1/3)≥x-1
得(1-3b)/3x^2+(b-1)x+(2b+2/3)≥0
则(1-3b)/3>0且Δ≤0
即b<1/3且(b-1)^2-4×(1-3b)/3×(2b+2/3)≤0
解得b即可
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