应该是f(x)=x^3-6ax^2+9a^2x
首先f(0)=0,f(3)=27(1-a)^2.其次由上面的推导,f(x)=x^3-6ax^2+9a^2x当a>0时在x=a处取得极大值,当a<0时在x=3a时都达到极大值.注意到函数在某个有限区间内的最大值只在极大值点或者两个端点处取到.分两种情况：
①当a>0时,如果027(1-a)^2<=4,
4a^3<=4,
解上面的不等式组并且注意到0若a>=3,那么f(x)在区间[0,3]内的最大值为0与27(1-a)^2中的较大值,就是27(1-a)^2,所以有
27(1-a)^2<=4,而此时27(1-a)^2 = 27(a-1)^2 >= 27*(3-1)^2 = 108 > 4,所以是不可能的,舍弃.
②当a<0时,3a<0,所以f(x)在区间[0,3]内不可能有极大值,因此同样f(x)在区间[0,3]内的最大值为27(1-a)^2,所以有27(1-a)^2<=4,但此时27(1-a)^2 > 27(1-0)^2 = 27 > 4,所以也是是不可能的,舍弃.
综上所述,a的取值范围为1-2√3/9 <=a <=1. 应该是f(x)=x^3-6ax^2+9a^2x
首先f(0)=0,f(3)=27(1-a)^2.其次由上面的推导,f(x)=x^3-6ax^2+9a^2x当a>0时在x=a处取得极大值,当a<0时在x=3a时都达到极大值.注意到函数在某个有限区间内的最大值只在极大值点或者两个端点处取到.分两种情况：
①当a>0时,如果027(1-a)^2<=4,
4a^3<=4,
解上面的不等式组并且注意到0若a>=3,那么f(x)在区间[0,3]内的最大值为0与27(1-a)^2中的较大值,就是27(1-a)^2,所以有
27(1-a)^2<=4,而此时27(1-a)^2 = 27(a-1)^2 >= 27*(3-1)^2 = 108 > 4,所以是不可能的,舍弃.
②当a<0时,3a<0,所以f(x)在区间[0,3]内不可能有极大值,因此同样f(x)在区间[0,3]内的最大值为27(1-a)^2,所以有27(1-a)^2<=4,但此时27(1-a)^2 > 27(1-0)^2 = 27 > 4,所以也是是不可能的,舍弃.
综上所述,a的取值范围为1-2√3/9 <=a <=1.