在一堂关于“折纸问题”的数学综合实践探究课中，小明同学将一张矩形ABCD纸片，按如图进行折叠，分别在BC、AD两边上取两点E，F，使CE=AF，分别以DE，BF为对称轴将△CDE与△ABF翻折得到△C′DE与△A′BF，且边C′E与A′B交于点G，边A′F与C′D交于一点H．已知tan∠EBG= 3 4 ，A′G=6，C′G=1，则矩形纸片ABCD的周长为．
2019-05-28
在一堂关于“折纸问题”的数学综合实践探究课中，小明同学将一张矩形ABCD纸片，按如图进行折叠，分别在BC、AD两边上取两点E，F，使CE=AF，分别以DE，BF为对称轴将△CDE与△ABF翻折得到△C′DE与△A′BF，且边C′E与A′B交于点G，边A′F与C′D交于一点H．已知tan∠EBG= ，A′G=6，C′G=1，则矩形纸片ABCD的周长为___．
优质解答
延长BA′交CD于M，作MN⊥C′D于N，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AD=BC，AB=CD，
由折叠的性质得：∠C′=∠C=90°，∠A′=∠A=90°，CE=C′E，AB=A′B，∠CDE=∠C′DE，∠CED=∠C′ED，∠ABF=∠A′BF，∠AFB=∠A′FB，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠ABF=∠CDE，∠CED=∠AFB，
∴∠BEG=∠DFH，∠EBG=∠FDH，
∵CE=AF，
∴BE=DF，
在△BEG和△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH（ASA），
∴∠BGE=∠DHF，
∵∠A′GC′=∠BGE，∠A′HC′=∠DHF，
∴∠BGE=∠DHF=∠A′HC′=∠A′GC′=（360°-90°-90°）÷2=90°，
∴四边形MNC′G是矩形，
∴MN=C′G=1，∠GMN=90°，
∴∠DMN=∠EBG，
∵tan∠EBG=，
∴设EG=3x，BG=4x，则BE=5x，
∴CE=C′E=3x+1，CD=AB=A′B=4x+6，
∵tan∠DMN==tan∠EBG=，MN=1，
∴DN=，
∴DM=，
∵tan∠EBG==，
即，解得：x=2，
∴AB=CD=14，AD=BC=17，
∴矩形ABCD的周长=2×（14+17）=62．
故答案为：62．
延长BA′交CD于M，作MN⊥C′D于N，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AD=BC，AB=CD，
由折叠的性质得：∠C′=∠C=90°，∠A′=∠A=90°，CE=C′E，AB=A′B，∠CDE=∠C′DE，∠CED=∠C′ED，∠ABF=∠A′BF，∠AFB=∠A′FB，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠ABF=∠CDE，∠CED=∠AFB，
∴∠BEG=∠DFH，∠EBG=∠FDH，
∵CE=AF，
∴BE=DF，
在△BEG和△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH（ASA），
∴∠BGE=∠DHF，
∵∠A′GC′=∠BGE，∠A′HC′=∠DHF，
∴∠BGE=∠DHF=∠A′HC′=∠A′GC′=（360°-90°-90°）÷2=90°，
∴四边形MNC′G是矩形，
∴MN=C′G=1，∠GMN=90°，
∴∠DMN=∠EBG，
∵tan∠EBG=，
∴设EG=3x，BG=4x，则BE=5x，
∴CE=C′E=3x+1，CD=AB=A′B=4x+6，
∵tan∠DMN==tan∠EBG=，MN=1，
∴DN=，
∴DM=，
∵tan∠EBG==，
即，解得：x=2，
∴AB=CD=14，AD=BC=17，
∴矩形ABCD的周长=2×（14+17）=62．
故答案为：62．