一道高等数学题设f(x)在[a,b]上具有二阶导数,且f'(a)=f'(b)=0.试证在(a,b)内至少有一点c,使|f"(c)|大于等于4|[f(b)-f(a)]/(b-a)^2|成立.
2019-04-14
一道高等数学题
设f(x)在[a,b]上具有二阶导数,且f'(a)=f'(b)=0.试证在(a,b)内至少有一点c,使|f"(c)|大于等于4|[f(b)-f(a)]/(b-a)^2|成立.
优质解答
f(x)有泰勒展开式：
f(x)=f(a)+f''(ξ1)(x-a)²/2,
f(x)=f(b)+f''(ξ2)(x-b)²/2,ξ1,ξ2均在(a,b)内.
所以
f[(a+b)/2]-f(a)=f''(ξ1)(b-a)²/8
f[(a+b)/2]-f(b)=f''(ξ2)(b-a)²/8,两式相减取绝对值得
|f(b)-f(a)|=|f''(ξ1)-f''(ξ2)|(b-a)²/8
|f''(ξ1)-f''(ξ2)|=8|f(b)-f(a)|/(b-a)²
若记|f''(ξ1)|,|f''(ξ2)|中较大者为|f''(c)|,
则|f''(ξ1)-f''(ξ2)|≤|f''(ξ1)|+|f''(ξ2)|≤2|f''(c)|
从而|f''(c)|≥4|f(b)-f(a)|/(b-a)².
f(x)有泰勒展开式：
f(x)=f(a)+f''(ξ1)(x-a)²/2,
f(x)=f(b)+f''(ξ2)(x-b)²/2,ξ1,ξ2均在(a,b)内.
所以
f[(a+b)/2]-f(a)=f''(ξ1)(b-a)²/8
f[(a+b)/2]-f(b)=f''(ξ2)(b-a)²/8,两式相减取绝对值得
|f(b)-f(a)|=|f''(ξ1)-f''(ξ2)|(b-a)²/8
|f''(ξ1)-f''(ξ2)|=8|f(b)-f(a)|/(b-a)²
若记|f''(ξ1)|,|f''(ξ2)|中较大者为|f''(c)|,
则|f''(ξ1)-f''(ξ2)|≤|f''(ξ1)|+|f''(ξ2)|≤2|f''(c)|
从而|f''(c)|≥4|f(b)-f(a)|/(b-a)².