第一个,调和级数
没有准确的通项公式,只有近似的欧拉公式
1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n+1)+C,C为欧拉常数 数值近似等于0.577218
第二个,
1-1/2+1/3-1/4+……+1/(2n-1)-1/2n
=1+1/2+1/3+1/4+……+1/(2n-1)+1/2n
-2(1/2+1/4+1/6+1/8+...+1/2n)
=1+1/2+1/3+1/4+……+1/(2n-1）+1/2n
-(1+1/2+1/3+1/4+...+1/(n-1)+1/n) (抵消了前n项,剩下的是后n项)
=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(2n-1)+1/2n
这依然是调和级数=ln[(2n+1)/(n+1)]+C
第三个,平方和公式的证明
1^2+2^2+3^2+.+(2n-1)^2
=1*1+2*2+3*3+.+(2n-1)*(2n-1)
=1*(2-1)+2*(3-1)+3*(4-1)+.+(2n-1)*(2n-1)
=1*2+2*3+3*4+.+(2n-1)*2n-(2n-1)*n
式中n*(n+1)格式=1/3[n*(n+1)*(n+2)-(n-1)*n*(n+1)]
所以,原式=1/3[1*2*3-0*1*2]+1/3[2*3*4-1*2*3]+.+[(2n-1)*2n*(2n+1)-(2n-2)*(2n-1)*2n]-(2n-1)*n
=1/3[(2n-1)*2n*(2n+1)]-(2n-1)*n
=(2n-1)*n*(4n-1)/3 第一个,调和级数
没有准确的通项公式,只有近似的欧拉公式
1+1/2+1/3+……+1/n=ln(n+1)+C,C为欧拉常数 数值近似等于0.577218
第二个,
1-1/2+1/3-1/4+……+1/(2n-1)-1/2n
=1+1/2+1/3+1/4+……+1/(2n-1)+1/2n
-2(1/2+1/4+1/6+1/8+...+1/2n)
=1+1/2+1/3+1/4+……+1/(2n-1）+1/2n
-(1+1/2+1/3+1/4+...+1/(n-1)+1/n) (抵消了前n项,剩下的是后n项)
=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(2n-1)+1/2n
这依然是调和级数=ln[(2n+1)/(n+1)]+C
第三个,平方和公式的证明
1^2+2^2+3^2+.+(2n-1)^2
=1*1+2*2+3*3+.+(2n-1)*(2n-1)
=1*(2-1)+2*(3-1)+3*(4-1)+.+(2n-1)*(2n-1)
=1*2+2*3+3*4+.+(2n-1)*2n-(2n-1)*n
式中n*(n+1)格式=1/3[n*(n+1)*(n+2)-(n-1)*n*(n+1)]
所以,原式=1/3[1*2*3-0*1*2]+1/3[2*3*4-1*2*3]+.+[(2n-1)*2n*(2n+1)-(2n-2)*(2n-1)*2n]-(2n-1)*n
=1/3[(2n-1)*2n*(2n+1)]-(2n-1)*n
=(2n-1)*n*(4n-1)/3