高数（经济数学）应用题1、已知函数 y =x立方-6x平方+9x+1,试求：(1) 函数的增减区间与极值；(2) 函数的凹凸区间与拐点.2、某农场要盖一间靠墙的长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,应围成怎样的长方形,才能使小屋的面积最大?关于第2题，靠墙的小屋，存砖能砌20米长的墙，难道周长不应该是40米吗？
2019-05-30
高数（经济数学）应用题
1、已知函数 y =x立方-6x平方+9x+1,试求：(1) 函数的增减区间与极值；
(2) 函数的凹凸区间与拐点.
2、某农场要盖一间靠墙的长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,应围成怎样的长方形,才能使小屋的面积最大?
关于第2题，靠墙的小屋，存砖能砌20米长的墙，难道周长不应该是40米吗？
优质解答
y =x^3-6x^2+9x+1
y'=3x^2-12x+9
令y'=0.则3（x-1)(x-3)=0
则驻点为：x=1,3
当y'>0函数单减,y'<0函数单增,在驻点取得极值
则当x<1,或者x>3时函数单增,当1<=x<=3时函数单减
而y''=6x-12
当x=1时,y''=-6<0,所以极大值为：y=5
当x=3时,y''=6>0,所以极小值为：y=1
y''=6x-12.当x>2,y''>0,所以为凹区间
y''=6x-12.当x<2,y''<0,所以为凸区间
拐点：y''=0,所以拐点为x=2
即周长为20m.要取得最大,因为靠墙,则使得长那边靠墙
设长方形长为x,则宽为：（20-x）/2
则面积为：
S=1/2x*（20-x）≤1/2[（x+20-x)/2]^2=50
此时x=20-x
即x=10
存砖能砌20米长的墙,就是说用这些砖围成的那个长方形（去掉靠墙）的长度为20米
总共只能砌20米,你的40米中余下的20米哪来的砖呢?
y =x^3-6x^2+9x+1
y'=3x^2-12x+9
令y'=0.则3（x-1)(x-3)=0
则驻点为：x=1,3
当y'>0函数单减,y'<0函数单增,在驻点取得极值
则当x<1,或者x>3时函数单增,当1<=x<=3时函数单减
而y''=6x-12
当x=1时,y''=-6<0,所以极大值为：y=5
当x=3时,y''=6>0,所以极小值为：y=1
y''=6x-12.当x>2,y''>0,所以为凹区间
y''=6x-12.当x<2,y''<0,所以为凸区间
拐点：y''=0,所以拐点为x=2
即周长为20m.要取得最大,因为靠墙,则使得长那边靠墙
设长方形长为x,则宽为：（20-x）/2
则面积为：
S=1/2x*（20-x）≤1/2[（x+20-x)/2]^2=50
此时x=20-x
即x=10
存砖能砌20米长的墙,就是说用这些砖围成的那个长方形（去掉靠墙）的长度为20米
总共只能砌20米,你的40米中余下的20米哪来的砖呢?