1)
c=√3,e=c/a=√3/2 ===>a=2,==>b^2=4-3=1.
椭圆方程为：x^2/4+y^2=1.
设动点P的坐标为P(X,Y),切线方程为：Xx/4+Yy=1；其在x、y轴的截距为4/X、1/Y.点M的坐标为M(u,v)=M(4/X,1/Y).即u=4/X,v=1/Y.即X=4/u,Y=1/v.动点P(X,Y)为椭圆x^2/4+y^2=1上的一点,代入X=4/u,Y=1/v,即得点M的轨迹方程.
此方程为：4^2/4u^2+1/v^2=1.
整理后得：y=x/√(x^2-4).
(2)
原点在O、半径为R的圆与y=x/√(x^2-4)相切、即有重根时,R=OM(min).y=x/√(x^2-4)=√(R^2-x^2).
x^2=(x^2-4)(R^2-x^2),===>x^4-(3+R^2)x^2+4R^2=0.
由Δ=(3+R^2)^2-16R^2=R^4-10R^2+9=(R^2-1)(R^2-9)=0
得：R=3,(舍去无意义的负根及R=1 1)
c=√3,e=c/a=√3/2 ===>a=2,==>b^2=4-3=1.
椭圆方程为：x^2/4+y^2=1.
设动点P的坐标为P(X,Y),切线方程为：Xx/4+Yy=1；其在x、y轴的截距为4/X、1/Y.点M的坐标为M(u,v)=M(4/X,1/Y).即u=4/X,v=1/Y.即X=4/u,Y=1/v.动点P(X,Y)为椭圆x^2/4+y^2=1上的一点,代入X=4/u,Y=1/v,即得点M的轨迹方程.
此方程为：4^2/4u^2+1/v^2=1.
整理后得：y=x/√(x^2-4).
(2)
原点在O、半径为R的圆与y=x/√(x^2-4)相切、即有重根时,R=OM(min).y=x/√(x^2-4)=√(R^2-x^2).
x^2=(x^2-4)(R^2-x^2),===>x^4-(3+R^2)x^2+4R^2=0.
由Δ=(3+R^2)^2-16R^2=R^4-10R^2+9=(R^2-1)(R^2-9)=0
得：R=3,(舍去无意义的负根及R=1