圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
.弦切角定理
¬弦切角的定义：顶点在圆上,并且一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.
如：
问：1.三个图中各有几个弦切角?它们所夹的弧各是什么?
2.所夹的弧是半圆的弦切角为_________角；
所夹的弧是劣弧的弦切角为_________角；
当弦切角为钝角时,其所夹的弧是_________弧.
­形成概念：
问：弦切角和它所夹的弧与弧所对的圆周角之间有什么关系?
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.
已知：AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切线,A为切点,弧是弦切角∠BAC所夹的弧.
求证：.
证明：分三种情况：
（1） 圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径,AB切⊙O于A,
∴.
∵为半圆,
∴,
∴.
（2） 圆心O在∠BAC的内部.
过A作直径AD交⊙O于D,
那么
.
（3） 圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于D
那么
.
∴.
由弦切角定理可以得到：
推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
练习．如图,⊙O的割线PAB与切线TP相交于点P,点C是切点,连接AC,BC,则图中有哪几对相等的角?
图中相等的角：∠PCA=∠B；
∠TCB=∠CAB ∠BCP=∠CAP
2.应用举例
例1：如图,在中,以AB为弦的⊙O与AC相切于点A,求长.
连结OA,OB.
∵在中,∠C=Rt∠
∴
∵ （弦切角定理）
∴
又∵AO=BO
∴为等边三角形
∴AO=AB==
∴
例2：如图,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB,AC分别相交于E,F.
求证：EF‖BC.
证明：连DF.
AD是∠BAC的平分线 ∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF‖BC
例3：如图,ΔABC内接于⊙O,AB是⊙O直径,CD⊥AB于D,MN切⊙O于C,
求证：AC平分∠MCD,BC平分∠NCD.
证明：∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B,
∵MN切⊙O于C
∴∠MCA=∠B,
∴∠MCA=∠ACD,
即AC平分∠MCD,
同理：BC平分∠NCD.
例4 如图,已知：C点在⊙O直径BE延长线上,CA切⊙O于A点,ÐC的平分线交AE于F点,交AB于D点.
(1).求ÐADF的度数；
(2).若ÐACB的度数为y度,ÐB的度数为x度,写出y与x的函数关系式,并写出x的取值范围；
(3).若AB=AC,求AC:BC.
①∵AC为⊙O切线
∴∠B=∠EAC
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠DCB
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD
即∠ADF=∠AFD
∵BE为⊙O直径
∴∠DAE=Rt∠
∴∠ADF=
=45
②∵∠B=∠EAC
∴∠B+∠BAC+∠ACB=180
∴
∵0 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
.弦切角定理
¬弦切角的定义：顶点在圆上,并且一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.
如：
问：1.三个图中各有几个弦切角?它们所夹的弧各是什么?
2.所夹的弧是半圆的弦切角为_________角；
所夹的弧是劣弧的弦切角为_________角；
当弦切角为钝角时,其所夹的弧是_________弧.
­形成概念：
问：弦切角和它所夹的弧与弧所对的圆周角之间有什么关系?
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.
已知：AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切线,A为切点,弧是弦切角∠BAC所夹的弧.
求证：.
证明：分三种情况：
（1） 圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径,AB切⊙O于A,
∴.
∵为半圆,
∴,
∴.
（2） 圆心O在∠BAC的内部.
过A作直径AD交⊙O于D,
那么
.
（3） 圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于D
那么
.
∴.
由弦切角定理可以得到：
推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
练习．如图,⊙O的割线PAB与切线TP相交于点P,点C是切点,连接AC,BC,则图中有哪几对相等的角?
图中相等的角：∠PCA=∠B；
∠TCB=∠CAB ∠BCP=∠CAP
2.应用举例
例1：如图,在中,以AB为弦的⊙O与AC相切于点A,求长.
连结OA,OB.
∵在中,∠C=Rt∠
∴
∵ （弦切角定理）
∴
又∵AO=BO
∴为等边三角形
∴AO=AB==
∴
例2：如图,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB,AC分别相交于E,F.
求证：EF‖BC.
证明：连DF.
AD是∠BAC的平分线 ∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF‖BC
例3：如图,ΔABC内接于⊙O,AB是⊙O直径,CD⊥AB于D,MN切⊙O于C,
求证：AC平分∠MCD,BC平分∠NCD.
证明：∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B,
∵MN切⊙O于C
∴∠MCA=∠B,
∴∠MCA=∠ACD,
即AC平分∠MCD,
同理：BC平分∠NCD.
例4 如图,已知：C点在⊙O直径BE延长线上,CA切⊙O于A点,ÐC的平分线交AE于F点,交AB于D点.
(1).求ÐADF的度数；
(2).若ÐACB的度数为y度,ÐB的度数为x度,写出y与x的函数关系式,并写出x的取值范围；
(3).若AB=AC,求AC:BC.
①∵AC为⊙O切线
∴∠B=∠EAC
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠DCB
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD
即∠ADF=∠AFD
∵BE为⊙O直径
∴∠DAE=Rt∠
∴∠ADF=
=45
②∵∠B=∠EAC
∴∠B+∠BAC+∠ACB=180
∴
∵0