2004中国西部数学奥林匹克
第一天
一、求所有的整数n,使得是完全平方数．
二、四边形ABCD为一凸四边形,I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心,过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F,分别延长AB、DC,它们相交于点P,且PE=PF．求证：A、B、C、D四点共圆．
三、求所有的实数k,使得不等式
对任意a、b、c、d ∈[-1,+∞)都成立．
四、设用d(n)表示n的所有正约数的个数,表示l,2,…,n中与n互质的数的个数．求所有的非负整数c,使得存在正整数n,满足
且对这样的每一个c,求出所有满足上式的正整数n．
第二天
五、设数列满足al=a2=1,且
求
六、将m×n棋盘(由m行n列方格构成,)的所有小方格都染上红蓝两色之一．如果2个相邻(有公共边)的小方格异色,则称这2个小方格为1个“标准对”．设棋盘中“标准对"的个数为S．试问：S是奇数还是偶数由哪些方格的颜色确定?什么情况下S为奇数?什么情况下S为偶数?说明理由．
七、已知锐角△ABC的三边长不全相等,周长为,P是其内部一动点,点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F．求证：
的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上．
八、求证：对任意正实数a、b、C,都有 2004中国西部数学奥林匹克
第一天
一、求所有的整数n,使得是完全平方数．
二、四边形ABCD为一凸四边形,I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心,过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F,分别延长AB、DC,它们相交于点P,且PE=PF．求证：A、B、C、D四点共圆．
三、求所有的实数k,使得不等式
对任意a、b、c、d ∈[-1,+∞)都成立．
四、设用d(n)表示n的所有正约数的个数,表示l,2,…,n中与n互质的数的个数．求所有的非负整数c,使得存在正整数n,满足
且对这样的每一个c,求出所有满足上式的正整数n．
第二天
五、设数列满足al=a2=1,且
求
六、将m×n棋盘(由m行n列方格构成,)的所有小方格都染上红蓝两色之一．如果2个相邻(有公共边)的小方格异色,则称这2个小方格为1个“标准对”．设棋盘中“标准对"的个数为S．试问：S是奇数还是偶数由哪些方格的颜色确定?什么情况下S为奇数?什么情况下S为偶数?说明理由．
七、已知锐角△ABC的三边长不全相等,周长为,P是其内部一动点,点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F．求证：
的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上．
八、求证：对任意正实数a、b、C,都有