精选问答
（2014•淄博三模）己知数列{an}满足a1=1，a2n-a2n-1=2，a2n+1-a2n=3n（n∈N*）．（I）计算：（a3-a1）+（a5-a3），并求a5；（Ⅱ）求a2n-1（用含n的式子表示）；（Ⅲ）记数列{an}的前n项和为Sn，求Sn．

2019-04-29

（2014•淄博三模）己知数列{an}满足a1=1，a2n-a2n-1=2，a2n+1-a2n=3n（n∈N*）．
（I）计算：（a3-a1）+（a5-a3），并求a5；
（Ⅱ）求a2n-1（用含n的式子表示）；
（Ⅲ）记数列{an}的前n项和为Sn，求Sn．
优质解答
（Ⅰ）由题设可得，a3−a1＝(a2−a1)+(a3−a2)＝2+31＝5
同理a5−a3＝2+32＝11所以（a3-a1）+（a5-a3）=16，…（2分）
从而，有a5-a1=16，所以，a5=17；        …（3分）
（Ⅱ）由题设知，a2n+1−a2n−1＝3n+2，…（4分）
所以，a2n−1−a2n−3＝3n−1+2a2n−3−a2n−5＝3n−2+2
…a5−a3＝32+2a3−a1＝31+2…（6分）
将上述各式两边分别取和，得：a2n−1−a1＝(31+32+…+3n−1)+2(n−1)，
所以a2n−1＝
3n
2
+2n−
5
2
．…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），可得a2n＝
3n
2
+2n−
1
2
，所以a2n−1+a2n＝3n+4n−3…（8分）
1°当n为偶数时，Sn=（a1+a2）+（a3+a4）+…（an-1+an）=
3
n+2
2
2
+
n2
2
−
n
2
−
3
2
，…（10分）
2°当n为奇数时，若n=1，则S1=a1=1．
若n≥3，则Sn=（a1+a2）+（a3+a4）+…（an-2+an-1）+an
=(31+32+…+3
n−1
2
)+4(1+2+…+
n−1
2
)−
3(n−1)
2
+(
a3−a1＝(a2−a1)+(a3−a2)＝2+31＝5
同理a5−a3＝2+32＝11所以（a3-a1）+（a5-a3）=16，…（2分）
从而，有a5-a1=16，所以，a5=17；        …（3分）
（Ⅱ）由题设知，a2n+1−a2n−1＝3n+2，…（4分）
所以，a2n−1−a2n−3＝3n−1+2a2n−3−a2n−5＝3n−2+2
…a5−a3＝32+2a3−a1＝31+2…（6分）
将上述各式两边分别取和，得：a2n−1−a1＝(31+32+…+3n−1)+2(n−1)，
所以a2n−1＝
3n
2
+2n−
5
2
．…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），可得a2n＝
3n
2
+2n−
1
2
，所以a2n−1+a2n＝3n+4n−3…（8分）
1°当n为偶数时，Sn=（a1+a2）+（a3+a4）+…（an-1+an）=
3
n+2
2
2
+
n2
2
−
n
2
−
3
2
，…（10分）
2°当n为奇数时，若n=1，则S1=a1=1．
若n≥3，则Sn=（a1+a2）+（a3+a4）+…（an-2+an-1）+an
=(31+32+…+3
n−1
2
)+4(1+2+…+
n−1
2
)−
3(n−1)
2
+(
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