（2012•淄博一模）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BD、BB1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1CD；（Ⅱ）求证：EF⊥AD1．

2019-04-29

（2012•淄博一模）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BD、BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）求证：EF⊥AD₁．

优质解答

证明：（I）连接B₁D

∵E、F分别是BD、BB₁的中点，∴EF∥B₁D
∵B₁D⊂平面A₁B₁CD，EF⊄平面A₁B₁CD
∴EF∥平面A₁B₁CD；
（II）∵A₁B₁⊥平面ADD₁A₁，A₁D⊂平面ADD₁A₁，
∴A₁B₁⊥AD₁，
∵A₁D⊥AD₁，A₁B₁∩A₁D=A₁，
∴AD₁⊥平面A₁B₁CD
∵EF⊂平面A₁B₁CD
∴EF⊥AD₁．证明：（I）连接B₁D

∵E、F分别是BD、BB₁的中点，∴EF∥B₁D
∵B₁D⊂平面A₁B₁CD，EF⊄平面A₁B₁CD
∴EF∥平面A₁B₁CD；
（II）∵A₁B₁⊥平面ADD₁A₁，A₁D⊂平面ADD₁A₁，
∴A₁B₁⊥AD₁，
∵A₁D⊥AD₁，A₁B₁∩A₁D=A₁，
∴AD₁⊥平面A₁B₁CD
∵EF⊂平面A₁B₁CD
∴EF⊥AD₁．