高中数学圆锥曲线抛物线部分设过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线有两个交点,且两个交点的纵坐标为y1,y2,求证：y1y2=-p^2.基本证明题,不太会证,望高手赐教,
2019-04-04
高中数学圆锥曲线抛物线部分
设过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线有两个交点,且两个交点的纵坐标为y1,y2,求证：y1y2=-p^2.
基本证明题,不太会证,望高手赐教,
优质解答
当斜率不存在的时候 ,你自己证明一下很简单的
当斜率存在
设为k 焦点是(p/2,0）,
y-0 =k（x-p/2）
y=kx-pk/2
k²x²-pk²x+p²k²/4=2px
x1+x2=（pk²+2p）/k²
x1x2= p²/4
y1y2=(kx1-pk/2)(kx2-pk/2)
=k²x1x2-pk²(x1+x2)/2 +p²k²/4
=p²k²/4- p²（k²+2）/2 +p²k²/4
=-p²
当斜率不存在的时候 ,你自己证明一下很简单的
当斜率存在
设为k 焦点是(p/2,0）,
y-0 =k（x-p/2）
y=kx-pk/2
k²x²-pk²x+p²k²/4=2px
x1+x2=（pk²+2p）/k²
x1x2= p²/4
y1y2=(kx1-pk/2)(kx2-pk/2)
=k²x1x2-pk²(x1+x2)/2 +p²k²/4
=p²k²/4- p²（k²+2）/2 +p²k²/4
=-p²