第二章 有理数及其运算 1∽4
主要内容：1．数怎么不够用了
2．数轴
3．绝对值
4．有理数的加法
二、学习指导：
1．数怎么不够用了
在现实生活中,常会遇到这样一些问题：
（1）温度是零上10℃或零下5℃；
（2）收入500元或支出300元；
（3）水位升高1.2米或下降0.9米；
（4）向前5米或后退6米；
（5）买进20瓶矿泉水或卖出15瓶矿泉水．
这里出现的每一对量,虽然有不同的具体内容,但都有一个共同特点：它们都是具有相反意义的量．零上和零下、收入和支出、上升和下降、向前和退后买进和卖出,都有相反的意义．
用我们小学学过的数就不容易来区分这样相反意义的量了．比如,零上5℃和零下5℃都用数字5来表示就会产生误会．也就是说,我们原来学的数不够用了．大家知道,在天气预报中,零下5℃是用-5℃来表示的,“-5℃”读作负5摄氏度．这样我们就引入了负数．
像5,1.2, ,500,……这样的数叫做正数,它们比0大．
在正数前面加上“-”号的数叫做负数,如-10,-3,- ,-0.3145,……它们比0小．
0既不是正数,也不是负数．
为了突出数的符号,也可以在正数前面加“+”号,如+5,+1.2,+ ,+500,……
有了正数和负数就可以表示相反意义的量了：
通常规定零上的温度为正,零下的就为负．同样,如果收入记为正,支出就记为负；上升记为正,下降就记为负；前进记为正,后退就记为负,买进记为正,卖出就记为负．具体的,零上5℃记为+5℃,零下5℃记为-5℃；水位上升1.2米记作+1.2米,下降0.9米记作-0.9米,等等．
引进了负数,我们学过的数可以分为：整数 正整数 和分数 正分数
零
负整数 负分数
整数和分数统称为有理数．
有理数的分类可有两种方式：
（1）有理数 整数 正整数 （2）有理数 正有理数 正整数
零 正分数
负整数
分数 正分数 零
负有理数 负整数
负分数
负分数
注意,0是一个特别的数,它既不是正数,也不是负数,它是一个整数,也是我们在分类时很容易漏掉的数,在学习这节时要特别注意．
2．数轴
温度计、尺、杆秤等,都有给了我们数轴的形象．
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
原点、正方向和单位长度是直线作为数轴的三个要素,缺一不可．
通常情况下,数轴是水平放置的,向右的方向为正方向．
每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示出来．
数轴可以用来比较两个数的大小,由于向右的方向是正方向,故数轴上右边的数比左边的数大．
3和-3,和 -这样的两个数只有符号不同,像这样的两个数是相反数．
一般地,如果两个数只有符号不同,那么我们就说其中一个是另一个的相反数,也说这两个数互为相反数．我们也特别规定,0的相反数是0．
我们也看到,互为相反数的两个数在数轴上的位置是在原点的两侧,且到原点的距离相等．我们也说,数轴上表示互为相反数的两个数的点关于原点对称．
注意,相反数是成对的,不能说单独的一个数是相反数,只能说一个数是另一个数的相反数．
3．绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如+3的绝对值等于3,记作|+3|=3；-2的绝对值等于2,记作|-2|=2．
一个数的绝对值与这个数有如下关系：
正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．
容易看出,两个互为相反数的数的绝对值相等．如|-6|=|+6|=6．
由于绝对值是表示数的点到原点的距离,则离原点越远的点表示的数的绝对值越大．负数的绝对值越大,表示这个数的点就越靠左边,因此,两个负数比较,绝对值大的反而小．
有了正负数和绝对值的概念,我们知道,确定一个数可以从两个方面考虑：符号和绝对值．
4．有理数的加法
我们对加法的法则是很熟悉的,但引入了有理数后,要严格按有理数的加法法则来做加法．
有理数的加法法则：
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加．
异号两数相加,绝对值相等时和为0（即互为相反数的两数相加得0）；
绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
一个数同0相加,仍得这个数．
加法的法则指出,两个有理数相加的结果由两部分构成：
先确定和的符号,再确定两数的绝对值相加或相减,以得到和的绝对值．
在加法运算中,最容易错的就是符号问题,运算时要特别注意符号问题．
三．典型例题
例1 一个物体沿着东西两个相反的方向运动,如果把向东的方向规定为正方向,那么向东运动5米、向西运动6.8米各应记什么?运动了6米、运动了-15米、运动了0米各表示什么意义?
向东运动5米记作+5米；向西运动6.8米记作-6.8米；
运动了6米表示物体向东运动6米；运动了-15米表示物体向西运动了15米；运动了0米表示物体原地不动．
说明：（1）用正数和负数可以表示相反意义的量；
（2）0除了表示没有外,还表示原点,起始位置,正负数的分界．
例2 把下列各数在数轴上表示出来,并且从小到大用“ 第二章 有理数及其运算 1∽4
主要内容：1．数怎么不够用了
2．数轴
3．绝对值
4．有理数的加法
二、学习指导：
1．数怎么不够用了
在现实生活中,常会遇到这样一些问题：
（1）温度是零上10℃或零下5℃；
（2）收入500元或支出300元；
（3）水位升高1.2米或下降0.9米；
（4）向前5米或后退6米；
（5）买进20瓶矿泉水或卖出15瓶矿泉水．
这里出现的每一对量,虽然有不同的具体内容,但都有一个共同特点：它们都是具有相反意义的量．零上和零下、收入和支出、上升和下降、向前和退后买进和卖出,都有相反的意义．
用我们小学学过的数就不容易来区分这样相反意义的量了．比如,零上5℃和零下5℃都用数字5来表示就会产生误会．也就是说,我们原来学的数不够用了．大家知道,在天气预报中,零下5℃是用-5℃来表示的,“-5℃”读作负5摄氏度．这样我们就引入了负数．
像5,1.2, ,500,……这样的数叫做正数,它们比0大．
在正数前面加上“-”号的数叫做负数,如-10,-3,- ,-0.3145,……它们比0小．
0既不是正数,也不是负数．
为了突出数的符号,也可以在正数前面加“+”号,如+5,+1.2,+ ,+500,……
有了正数和负数就可以表示相反意义的量了：
通常规定零上的温度为正,零下的就为负．同样,如果收入记为正,支出就记为负；上升记为正,下降就记为负；前进记为正,后退就记为负,买进记为正,卖出就记为负．具体的,零上5℃记为+5℃,零下5℃记为-5℃；水位上升1.2米记作+1.2米,下降0.9米记作-0.9米,等等．
引进了负数,我们学过的数可以分为：整数 正整数 和分数 正分数
零
负整数 负分数
整数和分数统称为有理数．
有理数的分类可有两种方式：
（1）有理数 整数 正整数 （2）有理数 正有理数 正整数
零 正分数
负整数
分数 正分数 零
负有理数 负整数
负分数
负分数
注意,0是一个特别的数,它既不是正数,也不是负数,它是一个整数,也是我们在分类时很容易漏掉的数,在学习这节时要特别注意．
2．数轴
温度计、尺、杆秤等,都有给了我们数轴的形象．
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
原点、正方向和单位长度是直线作为数轴的三个要素,缺一不可．
通常情况下,数轴是水平放置的,向右的方向为正方向．
每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示出来．
数轴可以用来比较两个数的大小,由于向右的方向是正方向,故数轴上右边的数比左边的数大．
3和-3,和 -这样的两个数只有符号不同,像这样的两个数是相反数．
一般地,如果两个数只有符号不同,那么我们就说其中一个是另一个的相反数,也说这两个数互为相反数．我们也特别规定,0的相反数是0．
我们也看到,互为相反数的两个数在数轴上的位置是在原点的两侧,且到原点的距离相等．我们也说,数轴上表示互为相反数的两个数的点关于原点对称．
注意,相反数是成对的,不能说单独的一个数是相反数,只能说一个数是另一个数的相反数．
3．绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如+3的绝对值等于3,记作|+3|=3；-2的绝对值等于2,记作|-2|=2．
一个数的绝对值与这个数有如下关系：
正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．
容易看出,两个互为相反数的数的绝对值相等．如|-6|=|+6|=6．
由于绝对值是表示数的点到原点的距离,则离原点越远的点表示的数的绝对值越大．负数的绝对值越大,表示这个数的点就越靠左边,因此,两个负数比较,绝对值大的反而小．
有了正负数和绝对值的概念,我们知道,确定一个数可以从两个方面考虑：符号和绝对值．
4．有理数的加法
我们对加法的法则是很熟悉的,但引入了有理数后,要严格按有理数的加法法则来做加法．
有理数的加法法则：
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加．
异号两数相加,绝对值相等时和为0（即互为相反数的两数相加得0）；
绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
一个数同0相加,仍得这个数．
加法的法则指出,两个有理数相加的结果由两部分构成：
先确定和的符号,再确定两数的绝对值相加或相减,以得到和的绝对值．
在加法运算中,最容易错的就是符号问题,运算时要特别注意符号问题．
三．典型例题
例1 一个物体沿着东西两个相反的方向运动,如果把向东的方向规定为正方向,那么向东运动5米、向西运动6.8米各应记什么?运动了6米、运动了-15米、运动了0米各表示什么意义?
向东运动5米记作+5米；向西运动6.8米记作-6.8米；
运动了6米表示物体向东运动6米；运动了-15米表示物体向西运动了15米；运动了0米表示物体原地不动．
说明：（1）用正数和负数可以表示相反意义的量；
（2）0除了表示没有外,还表示原点,起始位置,正负数的分界．
例2 把下列各数在数轴上表示出来,并且从小到大用“