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为什么二阶常系数微分方程只要确定2个非线性相关的解就可以,有没有可能存在第3个。非齐次的时候为什么只要一个特解,如果还有一个没法用这个特解加通解表示的特解呢?

2019-05-07

为什么二阶常系数微分方程只要确定2个非线性相关的解就可以,有没有可能存在第3个。非齐次的时候为什么只要一个特解,如果还有一个没法用这个特解加通解表示的特解呢?
优质解答
n阶齐次常微分方程可以证明存在形如y=c1·y1(x)+c2·y2(x)+····+cn·yn(x)的解,
意思是 n阶齐次常微分方程所有的解 均可以 由它的n个非线性相关解 线性组合构造;
而 n阶非齐次常微分方程的所有解 可以由 n阶齐次常微分方程所有的解 的n个非线性相关解线性组合+一个特解 构造;
所以,回答您的问题,
只要确定两个线性无关的解,就可以构造这个二阶齐次常微分方程的所有解,当然可能存在第3个,而且不知道会有多个解,但只要两个就可以全部表示;
非齐次的时候只要一个特解和齐次解,就可以构造通解,不可能 存在这个特解加通解无法表示的特解
证明很长,书上有
n阶齐次常微分方程可以证明存在形如y=c1·y1(x)+c2·y2(x)+····+cn·yn(x)的解,
意思是 n阶齐次常微分方程所有的解 均可以 由它的n个非线性相关解 线性组合构造;
而 n阶非齐次常微分方程的所有解 可以由 n阶齐次常微分方程所有的解 的n个非线性相关解线性组合+一个特解 构造;
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只要确定两个线性无关的解,就可以构造这个二阶齐次常微分方程的所有解,当然可能存在第3个,而且不知道会有多个解,但只要两个就可以全部表示;
非齐次的时候只要一个特解和齐次解,就可以构造通解,不可能 存在这个特解加通解无法表示的特解
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